Calcule os seguintes limites:
(1,5 ponto) lim x 0 4 x cos (2 x)tg(3 x)

Passo 1

Beleza, vamos calcular o limite da função 4x cos(2x)tan(3x) quando x se aproxima de 0. Aqui, estamos lidando com limites, que é um conceito fundamental no cálculo para entender o comportamento das funções perto de certos pontos. Para resolver isso, vamos precisar lembrar algumas propriedades básicas de limites e das funções trigonométricas envolvidas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que tan(3x) pode ser reescrita como sin(3x)cos(3x). Então, a expressão original fica:
4x cos(2x)tan(3x) = 4x cos(2x)sin(3x)cos(3x) = 4x cos(2x) cdot cos(3x)sin(3x)

Passo 3

Agora, simplificamos a expressão:
4x cos(2x) cdot cos(3x)sin(3x) = 4x cos(2x) cos(3x)sin(3x)

Passo 4

Sabemos que limx to 0 cos(kx) = 1 para qualquer constante k, porque o cosseno de 0 é 1. Então, tanto cos(2x) quanto cos(3x) vão se aproximar de 1 quando x tende a 0. Vamos substituir isso na expressão:
4x cdot 1 cdot 1sin(3x) = 4xsin(3x)

Passo 5

Agora, precisamos lidar com xsin(3x). Lembramos que limx to 0 sin(kx)kx = 1, então limx to 0 xsin(3x) = 13. Aplicando isso:
4xsin(3x) = 4 cdot xsin(3x) to 4 cdot 13 = 43

Resposta

O limite é 43.

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