Determine f^(7)(0) para cada uma das funções do exercício 10) usando somente os coeficientes da séries lá determinadas.
f(x)=ln (1+2 x)

Passo 1

A função é f(x)= ln(1+2x). O conteúdo usado aqui é a expansão em série de Maclaurin (Taylor em torno de zero), e vamos precisar da expansão conhecida de ln(1+u).

Passo 2

Usando u=2x, lembramos que
ln(1+u)=sumk=1^infty(-1)^k+1u^kk
Então basta substituir u=2x para obter a série de ln(1+2x).

Passo 3

Substituindo, temos
ln(1+2x)=sumk=1^infty(-1)^k+1(2x)^kk =sumk=1^infty(-1)^k+12^kkx^k
O coeficiente de x^7 é a7=(-1)^7+12^77=1287.

Passo 4

Como em uma série de Maclaurin vale f^(n)(0)=n!,an, temos
f^(7)(0)=7!cdot1287=6!cdot128=720times128=92160

Resposta

92160

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