Se
é uma função contínua numa região simplesmente conexa R e se
ao longo de toda curva simples fechada c de R, então,
é analítica em R.
Passo 1
Resumo do enunciado: temos uma função contínua
definida numa região simplesmente conexa
e a integral de linha fechada de
ao longo de qualquer curva simples em
é zero. Queremos mostrar que
é analítica em
. Vamos usar o conceito de primitiva (antiderivada) em análise complexa.
Passo 2
Definição e bem-definição da primitiva: escolha um ponto fixo
e defina
Essa definição faz sentido porque, como
é simplesmente conexa e todas as integrais em curvas fechadas valem zero, a integral de
entre
e
independe do caminho escolhido.
Passo 3
Cálculo da derivada de
: para mostrar que
, considere
Como
é contínua, podemos usar o fato de que
e assim
Passo 4
Conclusão:
é complexamente diferenciável em
e
. Logo,
é analítica em
.