Se f(z) é uma função contínua numa região simplesmente conexa R e se ointc f(z) d z=0 ao longo de toda curva simples fechada c de R, então, f(z) é analítica em R.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos uma função contínua f(z) definida numa região simplesmente conexa R e a integral de linha fechada de f ao longo de qualquer curva simples em R é zero. Queremos mostrar que f(z) é analítica em R. Vamos usar o conceito de primitiva (antiderivada) em análise complexa.

Passo 2

Definição e bem-definição da primitiva: escolha um ponto fixo z0in R e defina
F(z)=integralz0^zf(xi),dxi
Essa definição faz sentido porque, como R é simplesmente conexa e todas as integrais em curvas fechadas valem zero, a integral de f entre z0 e z independe do caminho escolhido.

Passo 3

Cálculo da derivada de F: para mostrar que F'(z)=f(z), considere
F(z+h)-F(z)h=1hintegralz^z+hf(xi),dxi
Como f é contínua, podemos usar o fato de que
integralz^z+hf(xi),dxi=f(z),h+o(h),
e assim
limhto0F(z+h)-F(z)h=limhto0f(z)h+o(h)h=f(z)

Passo 4

Conclusão: F é complexamente diferenciável em R e F'(z)=f(z). Logo, f(z) é analítica em R.

Resposta

f(z) é analítica em R.

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