Calcule os seguintes limites:
b) \quad \lim _{x \rightarrow \sqrt{2}}\left(x^{2}+3\right)(x-4)

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\to\sqrt{2}}\bigl(x^{2}+3\bigr)(x-4).
Informações dadas:
  • A função cuja limite devemos calcular é o produto de duas expressões: \,x^{2}+3\, e \,x-4\,.
  • O ponto de aproximação é x=\sqrt{2}.
    A pergunta é: qual é o valor numérico desse limite quando x tende para \sqrt{2}?

Passo 2

Ideia e justificativa teórica (do jeitinho que você pode usar na prova).
  • Existe uma propriedade básica de limites: se \lim_{x\to a} f(x)=L e \lim_{x\to a} g(x)=M com L e M finitos, então
\lim_{x\to a} f(x)g(x)=LM.
  • Polinômios e funções polinomiais (como x^{2}+3 e x-4) são contínuos em todo ponto real. Continuidade quer dizer que
\lim_{x\to a} p(x)=p(a)
para qualquer polinômio p e qualquer ponto a. Logo, para essas funções basta substituir x=a para obter o limite.
Explicando em palavras: como não há divisão por zero, raiz de expressão que zere o denominador, nem comportamento oscilatório, a substituição direta funciona.

Passo 3

Calcular o limite do primeiro fator por substituição, usando continuidade:
\lim_{x\to\sqrt{2}}\bigl(x^{2}+3\bigr)=(\sqrt{2})^{2}+3.
Agora calculo o quadrado de \sqrt{2}:
(\sqrt{2})^{2}=2.
Portanto
\lim_{x\to\sqrt{2}}\bigl(x^{2}+3\bigr)=2+3=5.

Passo 4

Calcular o limite do segundo fator por substituição:
\lim_{x\to\sqrt{2}}(x-4)=\sqrt{2}-4.
Não há mais simplificação imediata nesse fator além de deixar na forma exata \sqrt{2}-4.

Passo 5

Aplicar a propriedade do produto de limites: o limite do produto é o produto dos limites calculados nos passos anteriores. Assim
\lim_{x\to\sqrt{2}}\bigl(x^{2}+3\bigr)(x-4)=\biggl(\lim_{x\to\sqrt{2}}\bigl(x^{2}+3\bigr)\biggr)\cdot\biggl(\lim_{x\to\sqrt{2}}(x-4)\biggr)=5\bigl(\sqrt{2}-4\bigr).
Podemos também escrever de forma expandida:
5\bigl(\sqrt{2}-4\bigr)=5\sqrt{2}-20.

Resposta

5(\sqrt{2}-4)

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