Calcule os seguintes limites:
o) \quad \lim _{v \rightarrow 3} v^{2}(3 v-4)\left(9-v^{3}\right)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{v\rightarrow 3} v^{2}(3v-4)(9-v^{3}).
Informações dadas:
  • A variável que se aproxima de um valor é v e o ponto de aproximação é v=3.
  • A expressão é o produto de três fatores: v^{2}, (3v-4) e (9-v^{3}).
  • Não há indeterminação explícita no enunciado; é para calcular o limite numérico desse produto quando v tende a 3.

Passo 2

Ideia e justificativa (fórmulas que vou usar).
  • Regra de limites para produtos: se \lim_{v\to a} f(v) e \lim_{v\to a} g(v) existem e são finitos, então
\lim_{v\to a} \big(f(v)\,g(v)\big)=\big(\lim_{v\to a} f(v)\big)\cdot\big(\lim_{v\to a} g(v)\big).
Essa regra se estende a produtos com mais fatores.
  • Continuidade de polinômios: qualquer polinômio é contínuo em todo ponto, isto é, para um polinômio p(v) vale
\lim_{v\to a} p(v)=p(a).
Os fatores v^{2}, 3v-4 e 9-v^{3} são polinômios (ou combinações de polinômios), logo são contínuos em v=3. Assim posso calcular o limite trocando v por 3 em cada fator e depois multiplicar os resultados.

Passo 3

Calcular o limite de cada fator separadamente:
  • Para o primeiro fator:
\lim_{v\to 3} v^{2} = 3^{2} = 9.
  • Para o segundo fator:
\lim_{v\to 3} (3v-4) = 3\cdot 3 - 4 = 9 - 4 = 5.
  • Para o terceiro fator:
\lim_{v\to 3} (9 - v^{3}) = 9 - 3^{3} = 9 - 27 = -18.

Passo 4

Agora uso a regra do produto: o limite da expressão é o produto dos limites obtidos. Faço a multiplicação passo a passo:
9\cdot 5 = 45.
45\cdot (-18) = -(45\cdot 18).
Calculo 45\cdot 18 usando decomposição:
45\cdot 18 = 45\cdot(20-2) = 45\cdot 20 - 45\cdot 2 = 900 - 90 = 810.
Portanto
45\cdot (-18) = -810.

Resposta

-810

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