Mostre que a função f é contínua no ponto a dado:
f(x)=\sqrt{2 x-5}+3 x, \quad a=4

Passo 1

O enunciado fornece a função f e o ponto a:
  • f(x)=\sqrt{2x-5}+3x.
  • a=4.
O que se pede: mostrar que f é contínua no ponto a=4.
Informações úteis dadas pelo enunciado (e que vamos usar):
  • A parte \sqrt{2x-5} exige que 2x-5 \ge 0, isto é, o domínio de f contém apenas x com x \ge \dfrac{5}{2}. Observe que a=4 satisfaz isso, então f(4) está bem definida.
  • Podemos calcular o valor de f em a: f(4)=\sqrt{2\cdot4-5}+3\cdot4=\sqrt{3}+12.

Passo 2

Recordando a definição de continuidade num ponto (formal, mas direta):
  • Dizemos que f é contínua em a se e somente se
\lim_{x\to a} f(x) = f(a).
Em palavras: quando x se aproxima de a, os valores de f(x) se aproximam do valor f(a).
Para mostrar continuidade em a=4 basta provar a igualdade acima: calcular o limite \lim_{x\to4} f(x) e verificar que é igual a f(4)=\sqrt{3}+12.

Passo 3

Estratégia simples e muito usada: usar propriedades de limites/continuidade de funções básicas:
  • Funções lineares (como x\mapsto 2x-5 e x\mapsto 3x) são contínuas em todo ponto.
  • A função raiz quadrada t\mapsto \sqrt{t} é contínua em todo t\ge 0.
  • Soma e composição de funções contínuas são contínuas.
Assim, se demonstrarmos que \lim_{x\to4} (2x-5)=3 e que a raiz quadrada é contínua em 3, então
\lim_{x\to4} \sqrt{2x-5} = \sqrt{\lim_{x\to4} (2x-5)} = \sqrt{3},
e também
\lim_{x\to4} 3x = 3\cdot 4 = 12.
Pelo teorema da soma de limites,
\lim_{x\to4} f(x) = \lim_{x\to4} \sqrt{2x-5} + \lim_{x\to4} 3x = \sqrt{3} + 12,
que é exatamente f(4). Isso completa a ideia principal. Abaixo faço uma versão mais rigorosa (epsilon–delta) para fixar bem.

Passo 4

Prova epsilon–delta detalhada (rigorosa) para fixar a intuição — nota: é opcional em provas mais práticas, mas mostra claramente o porquê.
Queremos mostrar: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-4|<\delta e x estiver no domínio de f, então |f(x)-f(4)|<\varepsilon.
Começamos por escrever a diferença:
|f(x)-f(4)| = \big|\sqrt{2x-5}-\sqrt{3}\big| + |3x-12|.
Vamos estimar cada termo em função de |x-4|.
  1. Para o segundo termo é direto:
|3x-12| = 3|x-4|.
  1. Para o primeiro termo use a identidade com o conjugado:
\big|\sqrt{2x-5}-\sqrt{3}\big| = \frac{|(2x-5)-3|}{\sqrt{2x-5}+\sqrt{3}} = \frac{2|x-4|}{\sqrt{2x-5}+\sqrt{3}}.
Agora, se escolhermos \delta\le 1 então |x-4|<\delta\le 1 implica x>3, logo 2x-5>1 e \sqrt{2x-5}\ge \sqrt{1}=1. Assim, para esse x temos
\sqrt{2x-5}+\sqrt{3} \ge 1+\sqrt{3}.
Portanto, sob a condição |x-4|<1,
\big|\sqrt{2x-5}-\sqrt{3}\big| \le \frac{2|x-4|}{1+\sqrt{3}}.
  1. Juntando as duas estimativas:
|f(x)-f(4)| \le \frac{2|x-4|}{1+\sqrt{3}} + 3|x-4| = \left(3 + \frac{2}{1+\sqrt{3}}\right)|x-4|.
Defina a constante
C := 3 + \frac{2}{1+\sqrt{3}}>0.
Então, sempre que 0<|x-4|<\delta\le 1,
|f(x)-f(4)| \le C\,|x-4|.
Agora, dado \varepsilon>0 escolha
\delta := \min\left\{1,\\ \frac{\varepsilon}{C}\right\}.
Se 0<|x-4|<\delta então |f(x)-f(4)| \le C|x-4| < C\cdot\frac{\varepsilon}{C}=\varepsilon. Isso prova rigorosamente que \lim_{x\to4} f(x)=f(4).

Passo 5

Conclusão final com a ideia principal e a rigorosidade combinadas:
  • A função f está definida em a=4.
  • Pelo cálculo dos limites (ou pelo argumento de composição e soma de funções contínuas, ou pela prova epsilon–delta acima) temos
\lim_{x\to4} f(x) = \sqrt{3}+12 = f(4).
Portanto f é contínua no ponto a=4.

Resposta

A função f é contínua em a=4.

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