Mostre que a função f é contínua no ponto a dado: f(x)=\sqrt{2 x-5}+3 x, \quad a=4
Passo 1
O enunciado fornece a função f e o ponto a:
f(x)=\sqrt{2x-5}+3x.
a=4.
O que se pede: mostrar que f é contínua no ponto a=4.
Informações úteis dadas pelo enunciado (e que vamos usar):
A parte \sqrt{2x-5} exige que 2x-5 \ge 0, isto é, o domínio de f contém apenas x com x \ge \dfrac{5}{2}. Observe que a=4 satisfaz isso, então f(4) está bem definida.
Podemos calcular o valor de f em a: f(4)=\sqrt{2\cdot4-5}+3\cdot4=\sqrt{3}+12.
Passo 2
Recordando a definição de continuidade num ponto (formal, mas direta):
Dizemos que f é contínua em a se e somente se
\lim_{x\to a} f(x) = f(a).
Em palavras: quando x se aproxima de a, os valores de f(x) se aproximam do valor f(a).
Para mostrar continuidade em a=4 basta provar a igualdade acima: calcular o limite \lim_{x\to4} f(x) e verificar que é igual a f(4)=\sqrt{3}+12.
Passo 3
Estratégia simples e muito usada: usar propriedades de limites/continuidade de funções básicas:
Funções lineares (como x\mapsto 2x-5 e x\mapsto 3x) são contínuas em todo ponto.
A função raiz quadrada t\mapsto \sqrt{t} é contínua em todo t\ge 0.
Soma e composição de funções contínuas são contínuas.
Assim, se demonstrarmos que \lim_{x\to4} (2x-5)=3 e que a raiz quadrada é contínua em 3, então
que é exatamente f(4). Isso completa a ideia principal. Abaixo faço uma versão mais rigorosa (epsilon–delta) para fixar bem.
Passo 4
Prova epsilon–delta detalhada (rigorosa) para fixar a intuição — nota: é opcional em provas mais práticas, mas mostra claramente o porquê.
Queremos mostrar: para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-4|<\delta e x estiver no domínio de f, então |f(x)-f(4)|<\varepsilon.