Calcule os seguintes limites: r) lim x +infty(1-4x)^x+4

Passo 1

O exercício pede para calcular o limite limxto+inftyl(1-tfrac4xr)^x+4, que é um caso clássico de limite do tipo 1^infty. Vamos usar a definição do número e e técnicas de logaritmo para resolver.

Passo 2

Primeiro notamos que, à medida que xto+infty, a base 1-tfrac4xto1 e o expoente x+4to+infty. Isso caracteriza a indeterminação 1^infty. Para lidar com isso, escrevemos a expressão como uma exponencial de seu logaritmo:
l(1-tfrac4xr)^x+4=expl((x+4)ln(1-tfrac4x)r)

Passo 3

Agora calculamos o limite do expoente:
L=limxto+infty(x+4)lnl(1-tfrac4xr)
Como u=-4/xto0, usamos a expansão ln(1+u)=u-tfracu^22+o(u^2):
lnl(1-tfrac4xr)=-tfrac4x-tfrac12l(-tfrac4xr)^2+ol(1/x^2r)=-tfrac4x-tfrac8x^2+ol(1/x^2r)
Multiplicando por x+4:
(x+4)l(-tfrac4x-tfrac8x^2+o(1/x^2)r)=-4-tfrac24x+o(1)xrightarrow[xtoinfty]-4

Passo 4

Portanto temos
limxto+inftyl(1-tfrac4xr)^x+4=expl(limxto+infty(x+4)ln(1-tfrac4x)r)=exp(-4)=e^-4

Resposta

e^-4

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