Seja F(x, y)=lang<= 1+sen y,(cos y)^3 sen y+x cos yrang<=.
Calcule integralC1 cup C2 F cdot d r, onde C1 é o segmento de reta indo de (-3,0) a (0,0); e C2 é a curva dada por r(t)=lang<= t, pi2 t^2rang<=, 0 <= t <= 1.

Passo 1

Entendendo o Enunciado:
Estamos trabalhando com um campo vetorial dado por:
F(x, y) = lang<= 1 + sin y,; (cos y)^3 sin y + x cos y rang<=
Nosso objetivo é calcular a integral de linha:
integralC1 cup C2 F cdot dr
onde:
  • $ C_{1} $ é um segmento de reta que vai de C1 a (-3, 0).
  • $ C_{2} $ é a curva dada por (0, 0) para $ 0 \leq t \leq 1 $.
Conteúdo da Matéria:
Estamos lidando com integrais de linha de campos vetoriais, que envolvem calcular o trabalho realizado por um campo vetorial ao longo de uma curva.
O que Vamos Precisar:
  1. Parametrizar as curvas $ C_{1} $ e $ C_{2} $.
  2. Calcular as derivadas das parametrizações.
  3. Substituir na integral de linha e resolver a integral.

Passo 2

Parametrizando a Curva $ C_{1} $:
$ C_{1} $ é um segmento de reta de C1 a C1 . Podemos parametrizar essa reta usando um parâmetro $ t $ que varia de 0 a 1.
(-3, 0)
Explicação:
  • Quando $ t = 0 $: (0, 0)
  • Quando $ t = 1 $: t

Passo 3

Derivando a Parametrização de $ C_{1} $:
Vamos encontrar $ \frac{d\vec{r}_{1}}{dt} $:
C1
Explicação:
A derivada de $ \vec{r}{1}(t) $ em relação a $ t $ nos dá o vetor tangente à curva $ C{1} $.

Passo 4

Calculando a Integral de Linha em $ C_{1} $:
A integral de linha é dada por:
C1
Substituindo $ \vec{r}{1}(t) $ e $ \frac{d\vec{r}{1}}{dt} $:
integralC1 F cdot dr = integral0^1 F(r1(t)) cdot dr1dt , dt
Simplificando:
r1(t)
Calculando o produto escalar:
dr1dt
Resultado da Integral em $ C_{1} $: 3

Passo 5

Parametrizando a Curva $ C_{2} $:
Já temos a parametrização dada no enunciado:
C2
Derivando a Parametrização de $ C_{2} $:
r2(t) = lang<= t,; pi2 t^2 rang<= para 0 <= t <= 1

Passo 6

Calculando a Integral de Linha em $ C_{2} $:
Aplicando a fórmula da integral de linha:
C2
Substituindo $ \vec{r}{2}(t) $ e $ \frac{d\vec{r}{2}}{dt} $:
integralC2 F cdot dr = integral0^1 F(r2(t)) cdot dr2dt , dt
Calculando o produto escalar:
r2(t)
Essa integral parece complexa para resolver diretamente, então vamos procurar simplificar ou verificar se o campo vetorial é conservativo.

Passo 7

Verificando se o Campo Vetorial é Conservativo:
Um campo vetorial $ \vec{F}(x, y) = \langle P(x, y), Q(x, y) \rangle $ é conservativo se existir uma função potencial $ \phi(x, y) $ tal que:
F(x, y) = lang<= P(x, y), Q(x, y) rang<=
Para verificar se $ \vec{F} $ é conservativo, vamos checar se:
phi(x, y)
Calculando:
partial phipartial x = P e partial phipartial y = Q
F
Como $ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial Q}{\partial x} $, o campo vetorial $ \vec{F} $ é conservativo.

Passo 8

Encontrando a Função Potencial $ \phi(x, y) $:
Queremos encontrar $ \phi(x, y) $ tal que:
phi(x, y)
Integrando em relação a $ x $:
phi(x, y)
Agora, derivamos $ \phi $ em relação a $ y $ e igualamos a $ Q(x, y) $:
partial phipartial x = 1 + sin y
Comparando os termos:
x
Integrando em relação a $ y $:
phi(x, y) = integral (1 + sin y) , dx = x + x sin y + h(y)
Substituindo $ u = \cos y $, $ du = -\sin y , dy $:
phi
Portanto, a função potencial é:
y

Passo 9

Calculando a Integral de Linha Usando a Função Potencial:
Para campos conservativos, a integral de linha entre dois pontos $ A $ e $ B $ é dada por:
A
Como estamos calculando a integral sobre $ C_{1} \cup C_{2} $, que começa em B e termina em phi(B) - phi(A) , podemos calcular diretamente:
C1 cup C2
Calculando $ \phi(1, \frac{\pi}{2}) $:
(-3, 0)
Calculando $ \phi(-3, 0) $:
(1, pi2)
Agora, a integral é:
integralC1 cup C2 F cdot dr = phi(1, pi2) - phi(-3, 0)

Resposta

A integral de linha $ \int_{C_{1} \cup C_{2}} \vec{F} \cdot d\vec{r} $ vale $ \dfrac{21}{4} $.

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