Determine, a partir das E.C.R. em coord. polares e da continuidade das derivadas parciais, onde existe
e encontre seu valor quando:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar onde a derivada $ f’(z) $ existe para a função $ f(z) = \frac{1}{z^4} $. Vamos usar as Equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares e garantir que as derivadas parciais sejam contínuas. Para isso, precisamos lembrar como aplicar as E.C.R. em coordenadas polares e como calcular derivadas de funções complexas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função $ f(z) = \frac{1}{z^4} $ em coordenadas polares. Sabemos que $ z = re^{i\theta} $, onde $ r = |z| $ e $ \theta = \arg(z) $. Então:
Passo 3
Agora, vamos expressar $ f(z) $ em termos de suas partes real e imaginária. Utilizando a forma de Euler, temos:
Portanto, a parte real $ u(r, \theta) $ é $ \frac{\cos 4\theta}{r^4} $ e a parte imaginária $ v(r, \theta) $ é $ -\frac{\sin 4\theta}{r^4} $.
Passo 4
Agora, vamos aplicar as Equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares. As E.C.R. nesse sistema são:
Vamos calcular as derivadas necessárias.
Passo 5
Calculando $ \frac{\partial u}{\partial r} $:
Calculando $ \frac{\partial v}{\partial \theta} $:
Passo 6
Verificando a primeira Equação de Cauchy-Riemann:
Vemos que $ \frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r} \frac{\partial v}{\partial \theta} $, então a primeira equação está satisfeita.
Passo 7
Agora, calculando $ \frac{\partial v}{\partial r} $:
Calculando $ \frac{\partial u}{\partial \theta} $:
Passo 8
Verificando a segunda Equação de Cauchy-Riemann:
Também temos $ \frac{\partial v}{\partial r} = -\frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta} $, então a segunda equação está satisfeita.
Passo 9
Como ambas as Equações de Cauchy-Riemann estão satisfeitas e as derivadas parciais de $ u $ e $ v $ são contínuas em $ \mathbb{C} \backslash {0} $, concluímos que $ f(z) $ é diferenciável em todo ponto do domínio, ou seja, em $ \mathbb{C} \backslash {0} $.
Passo 10
Agora, vamos encontrar a derivada $ f’(z) $. Sabemos que para $ f(z) = z^n $, a derivada é $ f’(z) = n z^{n-1} $. No nosso caso, $ n = -4 $, então:
Resposta
A derivada $ f’(z) $ existe para todo $ z $ em $ \mathbb{C} \backslash {0} $ e é dada por: