Determine, a partir das E.C.R. em coord. polares e da continuidade das derivadas parciais, onde existe f^prime(z) e encontre seu valor quando:
f(z)=1z^4 com Dom f=C backslash0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para determinar onde a derivada $ f’(z) $ existe para a função $ f(z) = \frac{1}{z^4} $. Vamos usar as Equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares e garantir que as derivadas parciais sejam contínuas. Para isso, precisamos lembrar como aplicar as E.C.R. em coordenadas polares e como calcular derivadas de funções complexas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função $ f(z) = \frac{1}{z^4} $ em coordenadas polares. Sabemos que $ z = re^{i\theta} $, onde $ r = |z| $ e $ \theta = \arg(z) $. Então:
f(z) = 1z^4

Passo 3

Agora, vamos expressar $ f(z) $ em termos de suas partes real e imaginária. Utilizando a forma de Euler, temos:
f(z)
Portanto, a parte real $ u(r, \theta) $ é $ \frac{\cos 4\theta}{r^4} $ e a parte imaginária $ v(r, \theta) $ é $ -\frac{\sin 4\theta}{r^4} $.

Passo 4

Agora, vamos aplicar as Equações de Cauchy-Riemann em coordenadas polares. As E.C.R. nesse sistema são:
partial upartial r = 1r partial vpartial theta
partial vpartial r = -1r partial upartial theta
Vamos calcular as derivadas necessárias.

Passo 5

Calculando $ \frac{\partial u}{\partial r} $:
partial upartial r
Calculando $ \frac{\partial v}{\partial \theta} $:
partial upartial r = partialpartial r ( cos 4thetar^4 ) = -4 cos 4thetar^5

Passo 6

Verificando a primeira Equação de Cauchy-Riemann:
partial upartial r = -4 cos 4thetar^5
1r partial vpartial theta = 1r ( -4cos 4thetar^4 ) = -4 cos 4thetar^5
Vemos que $ \frac{\partial u}{\partial r} = \frac{1}{r} \frac{\partial v}{\partial \theta} $, então a primeira equação está satisfeita.

Passo 7

Agora, calculando $ \frac{\partial v}{\partial r} $:
partial vpartial r
Calculando $ \frac{\partial u}{\partial \theta} $:
partial vpartial r = partialpartial r ( -sin 4thetar^4 ) = 4 sin 4thetar^5

Passo 8

Verificando a segunda Equação de Cauchy-Riemann:
partial vpartial r = 4 sin 4thetar^5
-1r partial upartial theta = -1r ( -4sin 4thetar^4 ) = 4 sin 4thetar^5
Também temos $ \frac{\partial v}{\partial r} = -\frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial \theta} $, então a segunda equação está satisfeita.

Passo 9

Como ambas as Equações de Cauchy-Riemann estão satisfeitas e as derivadas parciais de $ u $ e $ v $ são contínuas em $ \mathbb{C} \backslash {0} $, concluímos que $ f(z) $ é diferenciável em todo ponto do domínio, ou seja, em $ \mathbb{C} \backslash {0} $.

Passo 10

Agora, vamos encontrar a derivada $ f’(z) $. Sabemos que para $ f(z) = z^n $, a derivada é $ f’(z) = n z^{n-1} $. No nosso caso, $ n = -4 $, então:
f'(z)

Resposta

A derivada $ f’(z) $ existe para todo $ z $ em $ \mathbb{C} \backslash {0} $ e é dada por:
f'(z)

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