Seja
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Encontre uma função escalar
tal que
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Encontre uma função escalar
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente encontrar uma função escalar $ f(x, y) $ cujo gradiente seja igual ao vetor $ \vec{F}(x, y) = \langle 1 + \sin y, (\cos y)^3 \sin y + x \cos y \rangle $. Isso envolve o conteúdo de cálculo vetorial, especificamente o conceito de gradiente e integrais parciais. Para resolver, vamos precisar integrar as componentes do vetor campo e garantir que tudo esteja certinho.
Passo 2
Primeiro, lembre-se que o gradiente de $ f $ é dado por $ \nabla f = \left\langle \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y} \right\rangle $. Então, temos que:
Vamos integrar essa expressão em relação a $ x $ para encontrar $ f(x, y) $:
Aqui, $ g(y) $ é uma função que depende apenas de $ y $, já que a integração foi em relação a $ x $.
Passo 3
Agora, vamos usar a segunda componente do gradiente para encontrar $ g(y) $. Sabemos que:
Substituindo $ f(x, y) = x + x \sin y + g(y) $, temos:
Igualando as duas expressões:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos integrar $ g’(y) $ para encontrar $ g(y) $:
Fazendo uma substituição simples, seja $ u = \cos y $, então $ du = -\sin y , dy $. A integral vira:
Aqui, $ C $ é a constante de integração, que podemos considerar zero para simplificar.
Resposta
A função escalar que satisfaz $ \nabla f(x, y) = \vec{F}(x, y) $ é: