Calcule os seguintes limites de f(x, y) para (x, y) \rightarrow(0,0), quando existirem.
f(x, y)=\frac{1}{x y} \operatorname{tg}\left(\frac{x y}{1+x y}\right) .

Passo 1

O enunciado pede \displaystyle\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y) para
f(x,y)=\frac{1}{x\,y}\,\tan\!\Bigl(\frac{x\,y}{1+x\,y}\Bigr).
Este é um limite de função de duas variáveis e vamos usar a expansão de \tan t em t=0.

Passo 2

Observamos que f não está definida quando x\,y=0. Para o cálculo do limite, porém, basta considerar pontos do domínio onde x\,y\neq0 e ver o comportamento de f(x,y) conforme (x,y)\to(0,0).

Passo 3

Façamos a substituição
u = x\,y.
Então
\frac{x\,y}{1+x\,y} = \frac{u}{1+u}
e
f(x,y) = \frac{\tan\!\bigl(\frac{u}{1+u}\bigr)}{x\,y} = \frac{\tan\!\bigl(\frac{u}{1+u}\bigr)}{u}.

Passo 4

Quando (x,y)\to(0,0), temos u\to0. Logo estudamos
\lim_{u\to0}\frac{\tan\!\bigl(\frac{u}{1+u}\bigr)}{u}.

Passo 5

Para u pequeno vale \tfrac{u}{1+u}\to0 e usamos \tan t\sim t quando t\to0. Assim
\tan\!\bigl(\tfrac{u}{1+u}\bigr) = \frac{u}{1+u}+o(u).
Dividindo por u
\frac{\tan\!\bigl(\frac{u}{1+u}\bigr)}{u} = \frac{1}{1+u}+o(1) \longrightarrow1.

Resposta

1

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