Calcule os seguintes limites de f(x, y) para (x, y) \rightarrow(0,0), quando existirem.
f(x, y)=\frac{e^{-x^{2}-y^{2}}-1}{x^{2}+y^{2}}.

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
quando (x,y)\to(0,0) de
f(x,y)=\frac{e^{-x^{2}-y^{2}}-1}{x^{2}+y^{2}}.
O conteúdo é limite de função de duas variáveis e vamos usar coordenadas polares para verificar existência e calcular o valor.

Passo 2

Em coordenadas polares definimos
x = r\cos\theta,\quad y = r\sin\theta,
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x^{2}+y^{2}=r^{2}
e
f(x,y)=\frac{e^{-r^{2}}-1}{r^{2}}.

Passo 3

Para small r usamos a expansão de Taylor de e^{-r^{2}} em torno de r=0:
e^{-r^{2}} = 1 - r^{2} + \frac{r^{4}}{2} + O(r^{6}).

Passo 4

Substituindo na expressão de f temos
\frac{e^{-r^{2}}-1}{r^{2}} = \frac{\bigl(1 - r^{2} + \tfrac{r^{4}}{2} + O(r^{6})\bigr) - 1}{r^{2}} = -1 + \frac{r^{2}}{2} + O(r^{4}).

Passo 5

Ao fazermos r\to0, o termo \tfrac{r^{2}}{2}+O(r^{4}) tende a zero, ficando
\frac{e^{-r^{2}}-1}{r^{2}}\;\longrightarrow\;-1
independentemente de \theta. Assim o limite existe.

Resposta

-1

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