Calcule os seguintes limites:
t) lim x a raizx-raiza+raizx-araizx^2-a^2 ; a>0

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxto adfracraizx-raiza+raizx-araizx^2-a^2 com a>0. Isso é um caso de indeterminação 0/0, então vamos usar manipulações algébricas (racionalização e fatoração) para simplificar antes de aplicar o limite.

Passo 2

Primeiro, racionalizamos o termo raizx-raiza. Temos:
raizx-raiza = x-araizx+raiza
Então o numerador N vira:
N = x-araizx+raiza + raizx-a
Agora fatoramos raizx-a:
N = raizx-al(raizx-araizx+raiza + 1r) = raizx-araizx-a+raizx+raizaraizx+raiza

Passo 3

O denominador D também pode ser fatorado:
D = raizx^2-a^2 = raiz(x-a)(x+a) = raizx-a,raizx+a
Assim o quociente fica
ND = raizx-adfracraizx-a+raizx+raizaraizx+raizaraizx-a,raizx+a = raizx-a+raizx+raiza(raizx+raiza)raizx+a

Passo 4

Bastando agora fazer xto a. Nesse limite temos raizx-ato0, raizxtoraiza e raizx+atoraiz2a. Substituindo,
limxto araizx-a+raizx+raiza(raizx+raiza)raizx+a = 0+raiza+raiza(raiza+raiza)raiz2a = 2raiza2raiza,raiz2a = 1raiz2a

Resposta

dfrac1raiz2a

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