O limite da função f(x, y)=sen(x^4+y^2)x^2+y^2 ao longo do caminho x=y quando x vai a 0 é:
(a) 2
(b) 1
© 12
(d) 14
(e) Nenhuma das alternativas acima.

Passo 1

O problema pede o limite da função f(x,y)=sin(x^4+y^2)x^2+y^2 ao longo do caminho x=y quando xto0. O conteúdo envolvido é limite de função de duas variáveis restrita a um caminho, e vamos precisar usar substituição e a aproximação de Taylor para sin(u) quando uto0.

Passo 2

Substituindo y=x na expressão de f(x,y), obtemos a função de uma única variável:
f(x,x)=sin(x^4+x^2)x^2+x^2=sinl(x^2(1+x^2)r)2x^2

Passo 3

Para xto0, o argumento u=x^2(1+x^2) tende a zero. Usamos a expansão de Taylor de primeira ordem: sin(u)approx u para u pequeno. Logo,
sinl(x^2(1+x^2)r)approx x^2(1+x^2)

Passo 4

Substituindo essa aproximação em f(x,x) temos
f(x,x)approxx^2(1+x^2)2x^2=1+x^22
e tomando xto0 resulta em
limxto0f(x,x)=1+02=12.

Resposta

tfrac12

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