Calcule os seguintes limites (do tipo 0/0 envolvendo conjugado de radicais):
lim x 1 raizx+2-raiz3x^3-1

Passo 1

O enunciado pede
limxto1raizx+2-raiz3x^3-1,
que é uma indeterminação do tipo 0/0. Para resolver, vamos usar duas ideias: racionalizar o numerador (multiplicar pelo conjugado) e fatorar o denominador x^3-1.

Passo 2

Multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado raizx+2+raiz3:
raizx+2-raiz3x^3-1 ;times; raizx+2+raiz3raizx+2+raiz3 = (x+2)-3(x^3-1)l(raizx+2+raiz3r) = x-1(x^3-1)l(raizx+2+raiz3r)

Passo 3

Repare que x^3-1 se fatora como (x-1)(x^2+x+1). Logo:
x-1(x^3-1)l(raizx+2+raiz3r) = x-1(x-1)(x^2+x+1)l(raizx+2+raiz3r) = 1(x^2+x+1)l(raizx+2+raiz3r)

Passo 4

Agora basta tomar o limite xto1. Substituindo x=1 em cada fator do denominador:
x^2+x+1l|x=1=1+1+1=3, raizx+2+raiz3l|x=1=raiz3+raiz3=2raiz3
Portanto o limite vale
13cdot 2raiz3=16raiz3

Resposta

limxto1raizx+2-raiz3x^3-1 =16raiz3

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