Indique, explicitando o teste usado, se as seguintes séries convergem ou divergem.
sum 2^n-13^n-1-1

Passo 1

O enunciado pede para determinar se a série de termos positivos
sumn=1^infty 2^n-13^n-1-1
converge ou diverge. O conteúdo é séries numéricas de termos positivos; usaremos o teste da razão, indicado sempre que há potências exponenciais.

Passo 2

Definimos o termo geral da série como
an = 2^n-13^n-1-1
O teste da razão diz que, se
L = limntoinftyan+1an
existe e satisfaz L<1, então a série converge absolutamente.

Passo 3

Calculamos a razão entre termos consecutivos:
an+1an = 2^n3^n-12^n-13^n-1-1 = 2 ,3^n-1-13^n-1

Passo 4

Para ntoinfty, os termos -1 tornam‐se desprezíveis em comparação com as potências de 3, de modo que
limntoinftyan+1an = 2 cdot limntoinfty3^n-13^n = 2cdot13 = 23
Como tfrac23<1, pelo teste da razão a série converge.

Resposta

A série converge (por teste da razão, pois o limite da razão entre termos sucessivos é tfrac23<1).

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