Indique, explicitando o teste usado, se as seguintes séries convergem ou divergem.
sum 2n^2+1

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^infty2n^2+1
O conteúdo envolve séries de termos positivos e o uso do Teste da Comparação com uma p-série.

Passo 2

Observamos que, para todo n>=1, os termos
an = 2n^2+1
são positivos, o que permite aplicar o Teste da Comparação direta.

Passo 3

Para n>=1 vale
n^2+1 > n^2 Longrightarrow 1n^2+1 < 1n^2
e, multiplicando ambos os lados por 2, obtemos
2n^2+1 < 2n^2

Passo 4

A série comparadora é
sumn=1^infty2n^2 =2sumn=1^infty1n^2,
que é uma p-série com p=2>1. Logo, ela converge.

Passo 5

Pelo Teste da Comparação, como
0 <= 2n^2+1 <= 2n^2
e sum 2/n^2 converge, concluímos que
sumn=1^infty2n^2+1
também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty2n^2+1 converge pelo Teste da Comparação com a p-série de expoente 2.

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