Calcule os seguintes limites (do tipo 0/0 envolvendo fatorações):
Passo 1
O enunciado pede o limite
Informações dadas:
- A expressão no numerador é
. - A expressão no denominador é
. - O ponto de interesse para o limite é
.
Passo 2
Teste de substituição direta (para ver se dá algum indeterminado):
Portanto a substituição direta fornece a forma indeterminada
. Quando isso ocorre, devemos manipular a expressão algébrica (aqui: fatorar) para cancelar o fator responsável pelo zero.
Passo 3
Fatorar o numerador. Note que
, então escrevemos:
Reconhecemos
como uma diferença de cubos. A fórmula da diferença de cubos é
onde
e
são quaisquer números. Aplicando com
e
, temos
Logo o numerador fatorado é
Passo 4
Fatorar o denominador. Procuramos raízes da quadrática
. Resolvendo
:
As raízes são
e
. Portanto a fatoração é
Passo 5
Reescrevendo a fração com as fatorações:
Para
podemos cancelar o fator comum
, obtendo a expressão simplificada
A cancelamento é válido para analisar o limite, porque o limite depende em valores de
próximos de
, não necessariamente igual a
.
Passo 6
Agora calculamos o limite substituindo
na expressão simplificada (agora contínua em
):
Calculemos passo a passo:
Portanto o valor do limite é