Calcule os seguintes limites (do tipo 0/0 envolvendo fatorações):
\lim _{x \rightarrow 5} \frac{2 x^{3}-250}{x^{2}-6 x+5}

Passo 1

O enunciado pede o limite
\lim_{x\to 5}\frac{2x^{3}-250}{x^{2}-6x+5}.
Informações dadas:
  • A expressão no numerador é 2x^{3}-250.
  • A expressão no denominador é x^{2}-6x+5.
  • O ponto de interesse para o limite é x=5.

Passo 2

Teste de substituição direta (para ver se dá algum indeterminado):
\text{Numerador em }x=5: \;2\cdot5^{3}-250=2\cdot125-250=250-250=0.
\text{Denominador em }x=5: \;5^{2}-6\cdot5+5=25-30+5=0.
Portanto a substituição direta fornece a forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Quando isso ocorre, devemos manipular a expressão algébrica (aqui: fatorar) para cancelar o fator responsável pelo zero.

Passo 3

Fatorar o numerador. Note que 250=5^{3}\cdot2, então escrevemos:
2x^{3}-250=2\bigl(x^{3}-125\bigr).
Reconhecemos x^{3}-125 como uma diferença de cubos. A fórmula da diferença de cubos é
a^{3}-b^{3}=(a-b)\bigl(a^{2}+ab+b^{2}\bigr),
onde a e b são quaisquer números. Aplicando com a=x e b=5, temos
x^{3}-125=(x-5)\bigl(x^{2}+5x+25\bigr).
Logo o numerador fatorado é
2x^{3}-250=2(x-5)\bigl(x^{2}+5x+25\bigr).

Passo 4

Fatorar o denominador. Procuramos raízes da quadrática x^{2}-6x+5. Resolvendo x^{2}-6x+5=0:
x=\frac{6\pm\sqrt{(-6)^{2}-4\cdot1\cdot5}}{2}=\frac{6\pm\sqrt{36-20}}{2}=\frac{6\pm\sqrt{16}}{2}=\frac{6\pm4}{2}.
As raízes são x=5 e x=1. Portanto a fatoração é
x^{2}-6x+5=(x-5)(x-1).

Passo 5

Reescrevendo a fração com as fatorações:
\frac{2x^{3}-250}{x^{2}-6x+5}=\frac{2(x-5)\bigl(x^{2}+5x+25\bigr)}{(x-5)(x-1)}.
Para x\neq 5 podemos cancelar o fator comum (x-5), obtendo a expressão simplificada
\frac{2\bigl(x^{2}+5x+25\bigr)}{x-1},\qquad x\neq 5.
A cancelamento é válido para analisar o limite, porque o limite depende em valores de x próximos de 5, não necessariamente igual a 5.

Passo 6

Agora calculamos o limite substituindo x=5 na expressão simplificada (agora contínua em x=5):
\lim_{x\to 5}\frac{2\bigl(x^{2}+5x+25\bigr)}{x-1}=\frac{2\bigl(5^{2}+5\cdot5+25\bigr)}{5-1}.
Calculemos passo a passo:
5^{2}=25,\quad 5\cdot5=25,\quad 25+25+25=75.
2\cdot75=150,\quad 5-1=4.
Portanto o valor do limite é
\frac{150}{4}=\frac{75}{2}.

Resposta

\dfrac{75}{2}

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