\int_{0}^{2} \frac{d x}{8+2 x^{2}}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que foi dado:
  • Pede calcular a integral definida \displaystyle \int_{0}^{2} \frac{d x}{8+2 x^{2}}.
  • Informação importante que já está no enunciado: os limites de integração são 0 e 2, e o integrando é \dfrac{1}{8+2x^{2}}.

Passo 2

Primeiro simplificar a expressão do integrando para colocá-la numa forma conhecida. Fatore 2 do denominador:
\frac{1}{8+2x^{2}}=\frac{1}{2(4+x^{2})}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}+4}.
Ou seja,
\int_{0}^{2}\frac{dx}{8+2x^{2}}=\frac{1}{2}\int_{0}^{2}\frac{dx}{x^{2}+4}.
Fiz isso porque a forma \dfrac{1}{x^{2}+a^{2}} tem uma antiderivada padrão envolvendo arctan — portanto quero chegar a essa forma.

Passo 3

Lembrete da fórmula fundamental que vamos usar (e por que ela vale):
  • Fórmula: \displaystyle \int \frac{dx}{x^{2}+a^{2}}=\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right)+C.
  • Justificativa rápida (intuição): se toma u=\dfrac{x}{a} então du=\dfrac{dx}{a} e
\int\frac{dx}{x^{2}+a^{2}}=\int\frac{a\,du}{a^{2}u^{2}+a^{2}}=\int\frac{a\,du}{a^{2}(u^{2}+1)}=\frac{1}{a}\int\frac{du}{u^{2}+1}=\frac{1}{a}\arctan(u)+C,
e voltando a x obtém-se a fórmula acima. Aqui a>0 e C é a constante de integração.

Passo 4

Aplicar a fórmula ao nosso caso. Temos na integral interna x^{2}+4, logo a^{2}=4 e a=2. Usando a expressão do Passo 2:
\frac{1}{2}\int_{0}^{2}\frac{dx}{x^{2}+4}=\frac{1}{2}\cdot\left[\frac{1}{a}\arctan\!\left(\frac{x}{a}\right)\right]_{0}^{2} =\frac{1}{2}\cdot\left[\frac{1}{2}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right)\right]_{0}^{2}.
Portanto uma primitiva (antiderivada) é \displaystyle F(x)=\frac{1}{4}\arctan\!\left(\frac{x}{2}\right).

Passo 5

Agora avaliar a integral definida pelos limites 0 e 2. Calculando F(2)-F(0):
\int_{0}^{2}\frac{dx}{8+2x^{2}}= \frac{1}{4}\biggl(\arctan\!\bigl(1\bigr)-\arctan\!\bigl(0\bigr)\biggr).
Sabendo que \arctan(1)=\dfrac{\pi}{4} e \arctan(0)=0, a expressão acima fica
\frac{1}{4}\left(\frac{\pi}{4}-0\right).

Passo 6

Comentário didático e dica para a prova: para integrais do tipo \int \dfrac{dx}{ax^{2}+b}, sempre tente fatorar constantes para chegar em \dfrac{1}{x^{2}+a^{2}}. Outra forma é fazer a substituição u=\dfrac{x}{a} diretamente. Memorizar a antiderivada \int \dfrac{dx}{x^{2}+a^{2}}=\dfrac{1}{a}\arctan\!\left(\dfrac{x}{a}\right) salva tempo em prova — pratique com exemplos como \int \dfrac{dx}{x^{2}+9} (resultado \dfrac{1}{3}\arctan(x/3)).

Resposta

\dfrac{\pi}{16}

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