Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado:
- Pede calcular a integral definida
. - Informação importante que já está no enunciado: os limites de integração são
e , e o integrando é .
Passo 2
Primeiro simplificar a expressão do integrando para colocá-la numa forma conhecida. Fatore
do denominador:
Ou seja,
Fiz isso porque a forma
tem uma antiderivada padrão envolvendo arctan — portanto quero chegar a essa forma.
Passo 3
Lembrete da fórmula fundamental que vamos usar (e por que ela vale):
- Fórmula:
- Justificativa rápida (intuição): se toma
então e
e voltando a
obtém-se a fórmula acima. Aqui
e
é a constante de integração.
Passo 4
Aplicar a fórmula ao nosso caso. Temos na integral interna
, logo
e
. Usando a expressão do Passo 2:
Portanto uma primitiva (antiderivada) é
.
Passo 5
Agora avaliar a integral definida pelos limites
e
. Calculando
:
Sabendo que
e
, a expressão acima fica
Passo 6
Comentário didático e dica para a prova: para integrais do tipo
, sempre tente fatorar constantes para chegar em
. Outra forma é fazer a substituição
diretamente. Memorizar a antiderivada
salva tempo em prova — pratique com exemplos como
(resultado
).