Calcule os seguintes limites (do tipo
.)
Passo 1
O enunciado pede calcular o limite
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- A função é um polinômio
. - O limite é quando
tende a (isto é, vai para valores muito grandes em módulo e negativos). - Ao olhar term-by-term:
tende a (potência ímpar preserva o sinal), enquanto tende a . Assim a expressão tem a aparência de um caso do tipo (mais precisamente ), que é uma forma indeterminada à primeira vista.
Passo 2
Estratégia escolhida (sem pular teoria): para polinômios, o comportamento quando
é dominado pelo termo de maior grau (maior potência de
). Vou fazer isso de forma algébrica para ver rigorosamente o que domina. Tomo o maior grau, que é
, e fatoro
da expressão:
Explicação de cada passo de fatoração:
- Dividir
por si dá . - Dividir
por dá (porque ). - Dividir
por dá .
Passo 3
Agora analiso o fator entre parênteses quando
. Uso o fato básico de limites de funções racionais simples:
- Para qualquer inteiro positivo
, quando . Intuição: o denominador cresce muito e empurra a fração para zero.
Aplicando isso:
Observação:
tende a
por ser uma potência par (sempre positiva e pequena), e
também tende a
.
Passo 4
Agora uso uma regra de limites: se
com
finito e não nulo, e
, então
— isto é, o comportamento em infinito é dado pelo fator que diverge multiplicado pelo limite do outro fator. Aqui temos
Portanto
Intuição numérica rápida para fixar: se
, então
e
e
é desprezível; a soma é aproximadamente
, muito negativo. À medida que
fica mais negativo, o termo
domina cada vez mais.
Passo 5
Conclusão: como o termo de maior grau
domina e tende a
, o limite da soma também é
.