Calcule os seguintes limites (do tipo infty-\(infty) ): \(\lim _{x \rightarrow-\infty} 6+x^{3}-x.)

Passo 1

O enunciado pede calcular o limite
\lim_{x\to -\infty} \left(6 + x^{3} - x\right).
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A função é um polinômio 6 + x^{3} - x.
  • O limite é quando x tende a -\infty (isto é, x vai para valores muito grandes em módulo e negativos).
  • Ao olhar term-by-term: x^{3} tende a -\infty (potência ímpar preserva o sinal), enquanto -x tende a +\infty. Assim a expressão tem a aparência de um caso do tipo \infty - \infty (mais precisamente -\infty + \infty), que é uma forma indeterminada à primeira vista.

Passo 2

Estratégia escolhida (sem pular teoria): para polinômios, o comportamento quando x\to\pm\infty é dominado pelo termo de maior grau (maior potência de x). Vou fazer isso de forma algébrica para ver rigorosamente o que domina. Tomo o maior grau, que é x^{3}, e fatoro x^{3} da expressão:
6 + x^{3} - x = x^{3}\left(1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{6}{x^{3}}\right).
Explicação de cada passo de fatoração:
  • Dividir x^{3} por si dá 1.
  • Dividir -x por x^{3} -\dfrac{1}{x^{2}} (porque -x/x^{3} = -1/x^{2}).
  • Dividir 6 por x^{3} \dfrac{6}{x^{3}}.

Passo 3

Agora analiso o fator entre parênteses quando x\to -\infty. Uso o fato básico de limites de funções racionais simples:
  • Para qualquer inteiro positivo k, \dfrac{1}{x^{k}}\to 0 quando x\to\pm\infty. Intuição: o denominador cresce muito e empurra a fração para zero.
    Aplicando isso:
\lim_{x\to -\infty}\left(1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{6}{x^{3}}\right) = 1 - 0 + 0 = 1.
Observação: \dfrac{1}{x^{2}} tende a 0 por ser uma potência par (sempre positiva e pequena), e \dfrac{6}{x^{3}} também tende a 0.

Passo 4

Agora uso uma regra de limites: se g(x)\to L com L finito e não nulo, e f(x)\to \pm\infty, então f(x)\,g(x)\to (\pm\infty)\cdot L — isto é, o comportamento em infinito é dado pelo fator que diverge multiplicado pelo limite do outro fator. Aqui temos
x^{3}\to -\infty\quad\text{e}\quad \left(1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{6}{x^{3}}\right)\to 1.
Portanto
\lim_{x\to -\infty} x^{3}\left(1 - \frac{1}{x^{2}} + \frac{6}{x^{3}}\right) = (-\infty)\cdot 1 = -\infty.
Intuição numérica rápida para fixar: se x=-100, então x^{3}=-1\,000\,000 e -x=100 e 6 é desprezível; a soma é aproximadamente -999\,900, muito negativo. À medida que x fica mais negativo, o termo x^{3} domina cada vez mais.

Passo 5

Conclusão: como o termo de maior grau x^{3} domina e tende a -\infty, o limite da soma também é -\infty.

Resposta

-\infty

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