Calcule os seguintes limites (do tipo \infty / \infty ):
\lim _{x \rightarrow+\infty} \ln \left(\frac{1+e x^{2}}{x^{2}+x}\right).

Passo 1

O enunciado pede o valor do limite
\lim_{x\rightarrow +\infty} \ln\!\left(\frac{1+e x^{2}}{x^{2}+x}\right).
Informações relevantes dadas:
  • A expressão dentro do log é \dfrac{1+e x^{2}}{x^{2}+x}.
  • Quando x\to+\infty, tanto o numerador quanto o denominador crescem (têm comportamento do tipo \infty/\infty).
  • e é a constante de Euler (aprox. 2,718\ldots).

Passo 2

Observação inicial sobre limites e logaritmo: a função \ln(\cdot) é contínua no intervalo (0,+\infty). Isso significa que, se a quantidade dentro do \ln tende a um número positivo L, então
\lim_{x\to+\infty}\ln\!\big( \text{algo}(x)\big)=\ln\!\left(\lim_{x\to+\infty}\text{algo}(x)\right).
Logo, para calcular o limite dado basta achar primeiro
\lim_{x\to+\infty}\frac{1+e x^{2}}{x^{2}+x},
desde que esse limite seja um número positivo.

Passo 3

Técnica padrão para quocientes com potências: dividir numerador e denominador pela maior potência de x presente, aqui x^{2}. Faço isso para simplificar o comportamento quando x\to+\infty:
\frac{1+e x^{2}}{x^{2}+x} = \frac{\dfrac{1}{x^{2}}+e}{1+\dfrac{1}{x}}.
Expliquei: cada termo foi dividido por x^{2}; por exemplo 1/x^{2} aparece no numerador e x/x^{2}=1/x aparece no denominador.

Passo 4

Agora passo ao limite da forma simplificada. Quando x\to+\infty vale
\frac{1}{x^{2}}\longrightarrow 0 \qquad\text{e}\qquad \frac{1}{x}\longrightarrow 0.
Portanto, tomando limite termo a termo (operando limites em soma/razão quando denominador tende a não zerar),
\lim_{x\to+\infty}\frac{\dfrac{1}{x^{2}}+e}{1+\dfrac{1}{x}}=\frac{0+e}{1+0}=e.
Assim a quantidade dentro do \ln tende a e, que é positivo, então podemos aplicar a continuidade do log.

Passo 5

Aplicando a continuidade de \ln ao resultado do passo anterior:
\lim_{x\rightarrow +\infty} \ln\!\left(\frac{1+e x^{2}}{x^{2}+x}\right) = \ln\!\left(\lim_{x\rightarrow +\infty}\frac{1+e x^{2}}{x^{2}+x}\right) = \ln(e).

Passo 6

Calcular \ln(e): pela definição da função logaritmo neperiano, \ln(e)=1.

Passo 7

Comentário rápido (cheque mental): o passo de dividir por x^{2} é a forma prática de comparar termos de maior ordem quando x\to\infty. Outra forma seria escrever o quociente como
\frac{1+e x^{2}}{x^{2}+x}=\frac{e+\tfrac{1}{x^{2}}}{1+\tfrac{1}{x}}
e proceder igual. O resultado é o mesmo: o interior do \ln tende a e, logo o limite é 1.

Resposta

1

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