Calcule os seguintes limites (do tipo
):
.
Passo 1
O enunciado pede o valor do limite
Informações relevantes dadas:
- A expressão dentro do log é
. - Quando
, tanto o numerador quanto o denominador crescem (têm comportamento do tipo ). -
é a constante de Euler (aprox. ).
Passo 2
Observação inicial sobre limites e logaritmo: a função
é contínua no intervalo
. Isso significa que, se a quantidade dentro do
tende a um número positivo
, então
Logo, para calcular o limite dado basta achar primeiro
desde que esse limite seja um número positivo.
Passo 3
Técnica padrão para quocientes com potências: dividir numerador e denominador pela maior potência de
presente, aqui
. Faço isso para simplificar o comportamento quando
:
Expliquei: cada termo foi dividido por
; por exemplo
aparece no numerador e
aparece no denominador.
Passo 4
Agora passo ao limite da forma simplificada. Quando
vale
Portanto, tomando limite termo a termo (operando limites em soma/razão quando denominador tende a não zerar),
Assim a quantidade dentro do
tende a
, que é positivo, então podemos aplicar a continuidade do log.
Passo 5
Aplicando a continuidade de
ao resultado do passo anterior:
Passo 6
Calcular
: pela definição da função logaritmo neperiano,
.
Passo 7
Comentário rápido (cheque mental): o passo de dividir por
é a forma prática de comparar termos de maior ordem quando
. Outra forma seria escrever o quociente como
e proceder igual. O resultado é o mesmo: o interior do
tende a
, logo o limite é
.