Calcule os seguintes limites (do tipo
):
.
Passo 1
O enunciado pede o valor do seguinte limite quando
tende a
:
Informações relevantes dadas:
- A expressão no numerador é
. - A expressão no denominador é
. - A variável
tende para . - Trata‑se de uma forma indeterminada do tipo
(ambos numerador e denominador crescem sem limite).
Passo 2
Entendendo a indeterminação e a estratégia básica (mini‑aula rápida).
- Quando temos uma expressão do tipo
, não dá para concluir direto que o limite é ou infinito; devemos manipular a expressão para ver como cresceram as duas partes. - Uma técnica padrão é fatorar a maior potência de
que aparece (aqui é ) para “normalizar” a razão. - Observação útil:
. Como temos para suficientemente grande, logo . Isso permite fatorar dentro da raiz com segurança.
Passo 3
Fatorar
no numerador e no denominador.
- No numerador:
Expliquei: puxou
para fora da raiz, ficando
.
- No denominador:
Passo 4
Reescrever a razão usando as fatorações e simplificar.
Aqui cancelei o fator
(válido porque para
grande
).
Passo 5
Passar ao limite usando continuidade e propriedades de limites (mini‑aula).
- À medida que
temos e . - A função
é contínua em , e funções polinomiais/racionais são contínuas, então podemos passar o limite para dentro:
- Portanto, pelo limite da razão,
Passo 6
Verificação alternativa (opcional) usando a Regra de L’Hôpital — só para confirmar.
- A forma original é
, aplicando L’Hôpital:
derivada do numerador:
derivada do denominador:
Pelo L’Hôpital,
E
, então o limite é
também.
Passo 7
Conclusão e incentivo rápido: o cálculo mostra que, mesmo parecendo que numerador e denominador crescem muito, a razão tende a um número finito porque o numerador cresce aproximadamente como
(mesma ordem do denominador) e os coeficientes determinam o resultado. Bom trabalho — essa técnica de fatorar pela maior potência de
é a que mais aparece em provas para limites do tipo
.