Calcule os seguintes limites (do tipo \infty / \infty ):
\lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\sqrt{x^{2}+2}}{3 x+6}.

Passo 1

O enunciado pede o valor do seguinte limite quando x tende a +\infty:
\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+2}}{3x+6}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão no numerador é \sqrt{x^{2}+2}.
  • A expressão no denominador é 3x+6.
  • A variável x tende para +\infty.
  • Trata‑se de uma forma indeterminada do tipo \infty/\infty (ambos numerador e denominador crescem sem limite).

Passo 2

Entendendo a indeterminação e a estratégia básica (mini‑aula rápida).
  • Quando temos uma expressão do tipo \infty/\infty, não dá para concluir direto que o limite é 1 ou infinito; devemos manipular a expressão para ver como cresceram as duas partes.
  • Uma técnica padrão é fatorar a maior potência de x que aparece (aqui é x) para “normalizar” a razão.
  • Observação útil: \sqrt{x^{2}}=|x|. Como x\to+\infty temos x>0 para x suficientemente grande, logo |x|=x. Isso permite fatorar x dentro da raiz com segurança.

Passo 3

Fatorar x no numerador e no denominador.
  • No numerador:
\sqrt{x^{2}+2} = x\sqrt{1+\frac{2}{x^{2}}}\quad\text{(para \(x>0\))}.
Expliquei: puxou x^{2} para fora da raiz, ficando \sqrt{x^{2}}\sqrt{1+2/x^{2}}=x\sqrt{1+2/x^{2}}.
  • No denominador:
3x+6 = x\left(3+\frac{6}{x}\right).

Passo 4

Reescrever a razão usando as fatorações e simplificar.
\frac{\sqrt{x^{2}+2}}{3x+6} = \frac{x\sqrt{1+\dfrac{2}{x^{2}}}}{x\left(3+\dfrac{6}{x}\right)} = \frac{\sqrt{1+\dfrac{2}{x^{2}}}}{3+\dfrac{6}{x}}.
Aqui cancelei o fator x (válido porque para x grande x\neq0).

Passo 5

Passar ao limite usando continuidade e propriedades de limites (mini‑aula).
  • À medida que x\to+\infty temos \dfrac{2}{x^{2}}\to0 e \dfrac{6}{x}\to0.
  • A função t\mapsto\sqrt{t} é contínua em t=1, e funções polinomiais/racionais são contínuas, então podemos passar o limite para dentro:
\lim_{x\to+\infty}\sqrt{1+\frac{2}{x^{2}}}=\sqrt{1+0}=1, \qquad \lim_{x\to+\infty}\left(3+\frac{6}{x}\right)=3+0=3.
  • Portanto, pelo limite da razão,
\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{\sqrt{1+\dfrac{2}{x^{2}}}}{3+\dfrac{6}{x}}=\frac{1}{3}.

Passo 6

Verificação alternativa (opcional) usando a Regra de L’Hôpital — só para confirmar.
  • A forma original é \infty/\infty, aplicando L’Hôpital:
    derivada do numerador:
\frac{d}{dx}\sqrt{x^{2}+2}=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+2}},
derivada do denominador:
\frac{d}{dx}(3x+6)=3.
Pelo L’Hôpital,
\lim_{x\to+\infty}\frac{\sqrt{x^{2}+2}}{3x+6} = \lim_{x\to+\infty}\frac{\dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+2}}}{3} = \frac{1}{3}\lim_{x\to+\infty}\frac{x}{\sqrt{x^{2}+2}}.
E \dfrac{x}{\sqrt{x^{2}+2}}=\dfrac{1}{\sqrt{1+2/x^{2}}}\to1, então o limite é \dfrac{1}{3} também.

Passo 7

Conclusão e incentivo rápido: o cálculo mostra que, mesmo parecendo que numerador e denominador crescem muito, a razão tende a um número finito porque o numerador cresce aproximadamente como x (mesma ordem do denominador) e os coeficientes determinam o resultado. Bom trabalho — essa técnica de fatorar pela maior potência de x é a que mais aparece em provas para limites do tipo \infty/\infty.

Resposta

\dfrac{1}{3}

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