Calcule os seguintes limites usando L'Hopital quando possível
lim x 0+(1x^2-1sen x)

Passo 1

Temos que calcular o limite limxto0+l(1/x^2 - 1/senxr). O conteúdo aqui é formas indeterminadas e vamos usar a regra de L’Hôpital.

Passo 2

Reescrevo a diferença com denominador comum:
1x^2 - 1senx = senx - x^2x^2,senx

Passo 3

Ao deixar xto0+, tanto o numerador senx - x^2 quanto o denominador x^2,senx tendem a zero. É uma indeterminação do tipo 0/0, então podemos aplicar L’Hôpital.

Passo 4

Derivamos numerador e denominador:
f(x)=senx - x^2, f'(x)=cos x - 2x
g(x)=x^2,senx, g'(x)=2x,senx + x^2cos x

Passo 5

Aplique L’Hôpital e avalie
limxto0+f'(x)g'(x)=limxto0+cos x -2x2x,senx + x^2cos x

Passo 6

Como cos xto1 e senxsim x, o denominador fica aproximadamente 2x^2 + x^2=3x^2>0. Logo
cos x -2x2x,senx + x^2cos xsim13x^2to +infty

Passo 7

Pelo critério de L’Hôpital, o limite original diverge para mais infinito.

Resposta

(+\infty)

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