Nos problemas 7-16, resolva a equação.
d yd x=3 x^2(1+y^2)^3 / 2

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO dydx = 3x^2,(1+y^2)^3/2. O conteúdo é EDOs de variáveis separáveis, então vamos separar as partes que dependem de y e de x para integrar.

Passo 2

Para separar variáveis, divido ambos os lados por (1+y^2)^3/2 e multiplico dx:
dy(1+y^2)^3/2 = 3x^2,dx Agora temos um integrando em y de um lado e em x do outro.

Passo 3

Integramos os dois lados:
integral dy(1+y^2)^3/2 = integral 3x^2,dx

Passo 4

Do lado direito:
integral 3x^2,dx = x^3 + C
Do lado esquerdo, percebemos que
ddyl(yraiz1+y^2r) = (1+y^2)^-3/2
Logo,
integral dy(1+y^2)^3/2 = yraiz1+y^2

Passo 5

Combinando os resultados, obtemos a solução implícita:
yraiz1+y^2 = x^3 + C

Passo 6

Para explicitar y, elevamos ao quadrado e isolamos:
y^21+y^2 = (x^3 + C)^2 Longrightarrow y^2 = (x^3 + C)^2,(1+y^2)
y^2l(1-(x^3+C)^2r) = (x^3+C)^2 Longrightarrow y^2 = (x^3+C)^21-(x^3+C)^2
Portanto:
y = pmx^3 + Craiz1 - (x^3 + C)^2

Resposta

A solução geral pode ser dada implicitamente por
yraiz1+y^2 = x^3 + C
ou explicitamente por
y = pmx^3 + Craiz1 - (x^3 + C)^2

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