Nos problemas 7-16, resolva a equação.
x d vd x=1-4 v^23 v

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x \frac{dv}{dx} = \frac{1-4v^2}{3v}.
Isso é um exercício de equação de variáveis separáveis: vamos separar v e x e depois integrar.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a derivada isolada:
v \frac{dv}{dx} = \frac{1-4v^2}{3x}.
Mas é mais direto dividir ambos os lados por x e multiplicar por dv: separamos em v e x:

Passo 3

Reorganizamos para integrar:
3v1-4v^2,dv = dxx
Aqui identificamos que a integral do lado esquerdo pede substituição u = 1 - 4v^2, pois du = -8v,dv.

Passo 4

Fazendo a substituição, temos:
integral 3v1-4v^2,dv = integral 3-8 duu = -38ln|u| + C1 = -38ln|1-4v^2| + C1
E do lado direito:
integral dxx = ln|x| + C2
Juntando constantes (C = C_2 - C_1):

Passo 5

Igualando as integrais, obtemos:
-38ln|1-4v^2| = ln|x| + C
Multiplicando por -8/3 e exponenciando, simplificamos:

Passo 6

Isolando a parte com v, chega-se a:
ln|1-4v^2| = -83ln|x| + C' Longrightarrow 1-4v^2 = K,x^-8/3
onde K = e^{C’} é constante arbitrária.

Passo 7

Por fim, resolvemos para v:

Passo 8

Temos
4v^2 = 1 - K,x^-8/3
Portanto

Passo 9

v^2 = \frac{1}{4} - \frac{K}{4},x^{-8/3},
v = \pm\frac{1}{2}\sqrt{1 - K,x^{-8/3}}.

Passo 10

Essa é a solução geral da equação diferencial.

Resposta

A solução geral é
v(x) = pm12raiz1 - K,x^-8/3,,
com K constante arbitrária.

Exercícios relacionados