Nos problemas
, resolva a equação.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x \frac{dv}{dx} = \frac{1-4v^2}{3v}.
Isso é um exercício de equação de variáveis separáveis: vamos separar v e x e depois integrar.
x \frac{dv}{dx} = \frac{1-4v^2}{3v}.
Isso é um exercício de equação de variáveis separáveis: vamos separar v e x e depois integrar.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a derivada isolada:
v \frac{dv}{dx} = \frac{1-4v^2}{3x}.
Mas é mais direto dividir ambos os lados por x e multiplicar por dv: separamos em v e x:
v \frac{dv}{dx} = \frac{1-4v^2}{3x}.
Mas é mais direto dividir ambos os lados por x e multiplicar por dv: separamos em v e x:
Passo 3
Reorganizamos para integrar:
Aqui identificamos que a integral do lado esquerdo pede substituição u = 1 - 4v^2, pois du = -8v,dv.
Passo 4
Fazendo a substituição, temos:
E do lado direito:
Juntando constantes (C = C_2 - C_1):
Passo 5
Igualando as integrais, obtemos:
Multiplicando por -8/3 e exponenciando, simplificamos:
Passo 6
Isolando a parte com v, chega-se a:
onde K = e^{C’} é constante arbitrária.
Passo 7
Por fim, resolvemos para v:
Passo 8
Temos
Portanto
Passo 9
v^2 = \frac{1}{4} - \frac{K}{4},x^{-8/3},
v = \pm\frac{1}{2}\sqrt{1 - K,x^{-8/3}}.
v = \pm\frac{1}{2}\sqrt{1 - K,x^{-8/3}}.
Passo 10
Essa é a solução geral da equação diferencial.
Resposta
A solução geral é
com K constante arbitrária.