Nos problemas 7-16, resolva a equação.
d xd t-x^3=x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem dxdt - x^3 = x. O conteúdo principal é resolução de EDOs separáveis, em que vamos usar separação de variáveis e frações parciais para integrar.

Passo 2

Começamos isolando dxdt:
dxdt = x + x^3
Em seguida, escrevemos na forma separável colocando todos os x de um lado e t do outro:
dxx(1+x^2) = dt

Passo 3

Aplicamos frações parciais em 1x(1+x^2). Queremos escrever
1x(1+x^2) = Ax + Bx + C1+x^2
Como não há termo constante no numerador de 1+x^2, descobrimos que A=1 e Bx+C = -x, ou seja, B=-1 e C=0. Então
1x(1+x^2) = 1x - x1+x^2

Passo 4

Integramos cada lado:
integral l(1x - x1+x^2r)dx = integral dt
Isso dá
ln|x| - 12ln(1+x^2) = t + C

Passo 5

Juntamos os logaritmos:
ln!l(|x|raiz1+x^2r) = t + C
e elevamos exponencialmente:
|x|raiz1+x^2 = K e^t,
onde K = e^C é constante arbitrária.

Passo 6

Se for preciso expressar x explicitamente, basta isolar:
x^21+x^2 = K^2 e^2t implies x^2 = K^2 e^2t1 - K^2 e^2t implies x(t) = pmK e^traiz1 - K^2 e^2t

Resposta

A solução geral implícita é
ln!l(|x|raiz1+x^2r) = t + C
ou explicitamente
x(t) = pmK e^traiz1 - K^2 e^2t,
onde C e K=e^C são constantes de integração.

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