Calcule os seguintes limites usando L'Hopital quando possível
lim x -1 4 x^3+x^2+3x^5+1

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
0/0
usando a regra de L’Hôpital. O conteúdo aqui é limites de funções que geram indeterminação do tipo , e vamos precisar verificar essa indeterminação e depois aplicar L’Hôpital, ou seja, derivar numerador e denominador.

Passo 2

Primeiro, substituímos x = -1 na expressão original para verificar a indeterminação. No numerador temos:
4(-1)^3 + (-1)^2 + 3 = -4 + 1 + 3 = 0
e no denominador:
(-1)^5 + 1 = -1 + 1 = 0
Como deu 0/0, podemos usar L’Hôpital.

Passo 3

Agora derivamos o numerador e o denominador separadamente. Para o numerador N(x)=4x^3 + x^2 + 3 a derivada é
N'(x) = 12x^2 + 2x
e para o denominador D(x)=x^5+1 a derivada é
D'(x) = 5x^4

Passo 4

Aplicamos então o limite à razão das derivadas:
limxto -1N'(x)D'(x) = limxto -112x^2 + 2x5x^4
Substituindo x=-1: no numerador fica 12cdot1 + 2cdot(-1) = 12 - 2 = 10 e no denominador 5cdot1 = 5. Logo o limite vale 10/5 = 2.

Resposta

2

Exercícios relacionados