Resolva as equações diferenciais lineares homogêneas ( com coeficientes constantes).
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes que é:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar as soluções características dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica associada. Substituímos $ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} $ por $ r^2 $, $ \frac{d y}{d x} $ por $ r $ e $ y $ por 1. Assim, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 1 $ e $ c = -12 $. Substituindo:
Passo 4
Calculando as duas soluções:
Passo 5
Com os valores de $ r $ encontrados, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear dos termos $ e^{r_1 x} $ e $ e^{r_2 x} $. Então:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: