Resolva as equações diferenciais lineares homogêneas ( com coeficientes constantes).
d^2 yd x^2+d yd x-12 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial linear homogênea com coeficientes constantes que é:
d^2 yd x^2 + d yd x - 12 y = 0
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais de segunda ordem. Para resolver, vamos precisar encontrar as soluções características dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica associada. Substituímos $ \frac{d^{2} y}{d x^{2}} $ por $ r^2 $, $ \frac{d y}{d x} $ por $ r $ e $ y $ por 1. Assim, a equação característica fica:
d^2 yd x^2

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de $ r $. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
r
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 1 $ e $ c = -12 $. Substituindo:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a

Passo 4

Calculando as duas soluções:
r1 = -1 + 72 = 3 e r2 = -1 - 72 = -4

Passo 5

Com os valores de $ r $ encontrados, a solução geral da equação diferencial é uma combinação linear dos termos $ e^{r_1 x} $ e $ e^{r_2 x} $. Então:
r

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 e^3x + C2 e^-4x

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