Resolva as equações diferenciais de 1^a ordem lineares:
tg x d yd x+y=sec x

Passo 1

A equação é . Isso é uma EDO linear de 1ª ordem. Para resolver, vamos escrever no formato padrão tg x,dydx+y=sec x e usar fator integrante.

Passo 2

Divido a equação original por para isolar tg x:
Assim temos dydx e dydx+underbrace1tg xcot x,y=sec xtg x=csc x .

Passo 3

O fator integrante é mu(x)=e^integral P(x),dx=e^integralcot x,dx=e^ln|sin x|=sin x. A ideia é multiplicar toda a EDO por mu(x) para obter um LHS que seja derivada de mu(x)y.

Passo 4

Multiplicando por sin x obtemos
sin xdydx+sin xcot x,y=sin xcsc x=1
No lado esquerdo, pela regra do produto, temos
sin xdydx+cos x,y=ddxl(sin x,yr)
Então a equação fica ddx(sin x,y)=1.

Passo 5

Integro ambos os lados em relação a x:
integralddx(sin x,y),dx=integral1,dx
Isso dá sin x,y=x+C, onde C é constante de integração.

Passo 6

Por fim, isolo y:
$$
y=\frac{x+C}{\sin x}$$
Essa é a solução geral da EDO dada.

Resposta

y(x)=x+Csin x

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