Calcule os seguintes limites usando LHopital quando possível
lim x infty x sen ax

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite quando tende ao infinito de . Estamos trabalhando com limites e, possivelmente, vamos usar a regra de L’Hôpital para facilitar a resolução.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o que acontece quando vai para infinito. Quando aumenta muito, fica bem pequeno, tendendo a zero. Então, estamos lidando com uma expressão da forma , que é uma indeterminação. Para resolver isso, a gente pode transformar essa expressão para aplicar a regra de L’Hôpital, que resolve casos onde temos ou .

Passo 3

Vamos reescrever a expressão como uma fração. Podemos fazer isso dividindo por limx infty sen(ax)1x :
Agora, quando vai para infinito, o numerador tende a zero e o denominador também tende a zero. Então, temos uma forma , que é perfeita para aplicar a regra de L’Hôpital.

Passo 4

Segundo a regra de L’Hôpital, a gente pode derivar o numerador e o denominador separadamente. Vamos fazer isso:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
ddx sen(ax) = cos(ax) cdot (-ax^2) = -ax^2 cos(ax)
Agora, substituindo na regra de L’Hôpital, temos:
ddx (1x) = -1x^2

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de limx infty a cos(ax) = a cdot 1 = a quando tende ao infinito. Sabemos que quando vai para infinito, tende a zero. E . Então:

Resposta

O limite é igual a .

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