Calcule os seguintes limites usando LHopital quando possível
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! A questão pede para calcular o limite quando
tende ao infinito de . Estamos trabalhando com limites e, possivelmente, vamos usar a regra de L’Hôpital para facilitar a resolução.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o que acontece quando
vai para infinito. Quando
aumenta muito,
fica bem pequeno, tendendo a zero. Então, estamos lidando com uma expressão da forma
, que é uma indeterminação. Para resolver isso, a gente pode transformar essa expressão para aplicar a regra de L’Hôpital, que resolve casos onde temos
ou
.
Passo 3
Vamos reescrever a expressão como uma fração. Podemos fazer isso dividindo por
:
Agora, quando
vai para infinito, o numerador tende a zero e o denominador
também tende a zero. Então, temos uma forma
, que é perfeita para aplicar a regra de L’Hôpital.
Passo 4
Segundo a regra de L’Hôpital, a gente pode derivar o numerador e o denominador separadamente. Vamos fazer isso:
Derivada do numerador:
Derivada do denominador:
Agora, substituindo na regra de L’Hôpital, temos:
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite de
quando
tende ao infinito. Sabemos que quando
vai para infinito,
tende a zero. E
. Então:
Resposta
O limite é igual a
.