Determine a série de Fourier para a função
f(x)=lll 0, & se -2
Faça o gráfico da série obtida.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar a série de Fourier de uma função em partes. A função é definida de forma diferente em três intervalos dentro de . Para resolver isso, vamos precisar entender os conceitos de séries de Fourier, que nos permitem representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos. Vamos seguir os passos para encontrar os coeficientes da série e montar a expressão final.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o período da função. Observando a definição de omega0 = pi2 , percebemos que ela se repete a cada intervalo de comprimento 4, já que vai de a . Portanto, o período é 4, e a frequência fundamental é dada por:

Passo 3

A série de Fourier para uma função paridade ímpar ou par pode ser simplificada, mas como nossa função f(x) = sumn=1^infty bn sin(nomega0 x) é ímpar (já que ), ela será expressa apenas com termos de senos. A série de Fourier geral para uma função ímpar é:

Passo 4

Agora, precisamos calcular os coeficientes bn = 2T integral0^T/2 f(x) sin(nomega0 x) dx . A fórmula para bn = 24 integral0^2 f(x) sin(npi2 x) dx = 12 integral0^2 f(x) sin(npi2 x) dx em uma função ímpar é:
Como , temos:

Passo 5

Vamos dividir a integral de bn = 12 ( integral0^1 (-2) sin(npi2 x) dx + integral1^2 0 cdot sin(npi2 x) dx ) de acordo com os intervalos onde bn = 12 ( -2 integral0^1 sin(npi2 x) dx ) = -12 cdot 2 integral0^1 sin(npi2 x) dx = -integral0^1 sin(npi2 x) dx é definida:
Como a segunda integral é zero, ficamos com:

Passo 6

Vamos calcular a integral:
integral0^1 sin(npi2 x) dx = [ -2npi cos(npi2 x) ]0^1 = -2npi ( cos(npi2) - cos(0) ) = -2npi ( cos(npi2) - 1 )
Portanto,
bn = -( -2npi ( cos(npi2) - 1 ) ) = 2npi ( cos(npi2) - 1 )

Passo 7

Simplificando , observamos que assume valores específicos dependendo de :
  • Para par, .
  • Para ímpar, quando é múltiplo de 2, mas neste caso é ímpar, então a expressão simplifica.
No entanto, ao analisar, percebemos que os termos para par se anulam, e apenas os termos ímpares contribuem para a série.

Passo 8

Portanto, a série de Fourier da função f(x) = sumk=1^infty 4(2k-1)pi sin((2k-1)pi2 x) será composta apenas por termos ímpares:
Onde é um número inteiro positivo.

Resposta

A série de Fourier para a função f(x) = sumk=1^infty 4(2k-1)pi sin((2k-1)pi2 x) é dada por:
Essa série representa a função original de forma periódica e pode ser visualizada graficamente somando os termos até a quantidade desejada para aproximar a forma da função.

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