Calcule os seguintes limites usando L'Hopital quando possível
lim x infty x sen ax

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite limxtoinftyxsinl(tfracaxr). O conteúdo aqui é limite que naturalmente dá uma forma indefinida inftycdot0, então vamos usar a regra de L’Hôpital, que exige converter o produto em quociente.

Passo 2

Para aplicar L’Hôpital, reescrevemos o produto como quociente:
$$\lim_{x\to\infty}x\sin\Bigl(\frac{a}{x}\Bigr)
=\lim_{x\to\infty}\frac{\sin\bigl(\tfrac{a}{x}\bigr)}{1/x}.$$

Passo 3

Agora verificamos que quando xtoinfty temos sin(a/x)to0 e 1/xto0, ou seja, indeterminação 0/0. Podemos aplicar L’Hôpital derivando numerador e denominador:
  • Derivada do numerador sin(a/x) em relação a x:
ddxl[sinl(tfracaxr)r] =cosl(axr)cdotl(-ax^2r) =-ax^2cosl(axr)

Passo 4

  • Derivada do denominador 1/x em relação a x:
$$\frac{d}{dx}\Bigl[\frac1x\Bigr]
=-\frac{1}{x^2}.$$

Passo 5

Logo, pelo L’Hôpital, o limite original vale:
$$\lim_{x\to\infty}\frac{-\tfrac{a}{x2}\cos\bigl(\tfrac{a}{x}\bigr)}{-\tfrac{1}{x2}}
=\lim_{x\to\infty}a\cos\Bigl(\frac{a}{x}\Bigr).$$

Passo 6

Como cos(a/x)tocos(0)=1 quando xtoinfty, concluímos que o limite é a.

Resposta

a

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