Calcule os seguintes limites usando L'Hopital quando possível
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite
. O conteúdo aqui é limite que naturalmente dá uma forma indefinida
, então vamos usar a regra de L’Hôpital, que exige converter o produto em quociente.
Passo 2
Para aplicar L’Hôpital, reescrevemos o produto como quociente:
$$\lim_{x\to\infty}x\sin\Bigl(\frac{a}{x}\Bigr)
=\lim_{x\to\infty}\frac{\sin\bigl(\tfrac{a}{x}\bigr)}{1/x}.$$
Passo 3
Agora verificamos que quando
temos
e
, ou seja, indeterminação
. Podemos aplicar L’Hôpital derivando numerador e denominador:
- Derivada do numerador
em relação a :
Passo 4
- Derivada do denominador
em relação a :
$$\frac{d}{dx}\Bigl[\frac1x\Bigr]
=-\frac{1}{x^2}.$$
Passo 5
Logo, pelo L’Hôpital, o limite original vale:
$$\lim_{x\to\infty}\frac{-\tfrac{a}{x2}\cos\bigl(\tfrac{a}{x}\bigr)}{-\tfrac{1}{x2}}
=\lim_{x\to\infty}a\cos\Bigl(\frac{a}{x}\Bigr).$$
Passo 6
Como
quando
, concluímos que o limite é
.
Resposta
a