Um objeto com massa m se move com função posição r(t)=a sen t i+b cos t j+c t k, 0 <= t <= pi / 2. Encontre o trabalho realizado sobre o objeto durante este período de tempo.

Passo 1

Vamos resumir o problema: temos um objeto com massa $ m $ que se move de acordo com a função posição m no intervalo de tempo $ 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2} $. Nosso objetivo é encontrar o trabalho realizado sobre esse objeto durante esse período. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas para encontrar a velocidade e aceleração, e a definição de trabalho em termos de força e deslocamento.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a velocidade do objeto, que é a derivada da posição em relação ao tempo. A função posição é:
r(t) = a sin t , i + b cos t , j + c t , k
Derivando cada componente em relação a $ t $:
t

Passo 3

Agora, vamos encontrar a aceleração do objeto, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Derivando cada componente da velocidade:
a(t) = dv(t)dt = -a sin t , i - b cos t , j + 0 , k = -a sin t , i - b cos t , j

Passo 4

A força que atua sobre o objeto pode ser encontrada usando a segunda lei de Newton, que diz que F = m a. Então:
F(t) = m a(t) = -m a sin t , i - m b cos t , j

Passo 5

O trabalho realizado pela força ao longo do deslocamento é dado pelo integral do produto escalar da força pela velocidade em relação ao tempo. Ou seja:
W = integral0^pi2 F(t) cdot v(t) , dt
Calculando o produto escalar F(t) cdot v(t):
F(t) cdot v(t) = (-m a sin t)(a cos t) + (-m b cos t)(-b sin t) + 0 = -m a^2 sin t cos t + m b^2 sin t cos t
Simplificando:
F(t) cdot v(t) = m (b^2 - a^2) sin t cos t

Passo 6

Agora, vamos calcular o integral:
W = m (b^2 - a^2) integral0^pi2 sin t cos t , dt
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição simples. Sabemos que:
integral sin t cos t , dt = 12 sin^2 t + C
Aplicando os limites de integração:
W = m (b^2 - a^2) [ 12 sin^2 t ]0^pi2 = m (b^2 - a^2) ( 12 sin^2 pi2 - 12 sin^2 0 ) = m (b^2 - a^2) ( 12 cdot 1 - 0 ) = m (b^2 - a^2)2

Resposta

O trabalho realizado sobre o objeto durante o período de tempo considerado é:
W = m (b^2 - a^2)2

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