Um objeto com massa
se move com função posição
. Encontre o trabalho realizado sobre o objeto durante este período de tempo.
Passo 1
Vamos resumir o problema: temos um objeto com massa $ m $ que se move de acordo com a função posição
no intervalo de tempo $ 0 \leq t \leq \frac{\pi}{2} $. Nosso objetivo é encontrar o trabalho realizado sobre esse objeto durante esse período. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas para encontrar a velocidade e aceleração, e a definição de trabalho em termos de força e deslocamento.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a velocidade do objeto, que é a derivada da posição em relação ao tempo. A função posição é:
Derivando cada componente em relação a $ t $:
Passo 3
Agora, vamos encontrar a aceleração do objeto, que é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Derivando cada componente da velocidade:
Passo 4
A força que atua sobre o objeto pode ser encontrada usando a segunda lei de Newton, que diz que
. Então:
Passo 5
O trabalho realizado pela força ao longo do deslocamento é dado pelo integral do produto escalar da força pela velocidade em relação ao tempo. Ou seja:
Calculando o produto escalar
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, vamos calcular o integral:
Para resolver essa integral, podemos usar uma substituição simples. Sabemos que:
Aplicando os limites de integração:
Resposta
O trabalho realizado sobre o objeto durante o período de tempo considerado é: