Nos problemas 7-16, resolva a equação.
d yd x=sec ^2 y1+x^2

Passo 1

O exercício pede para resolver a EDO de primeira ordem dydx=sec^2y1+x^2. O conteúdo principal é equações de variáveis separáveis: vamos precisar agrupar termos em y com dy e termos em x com dx, integrar ambos os lados e montar a solução geral.

Passo 2

Começamos separando as variáveis. Multiplicando ambos os lados por cos^2y e por dx, obtemos:
cos^2y,dy=dx1+x^2 Explicação: como sec^2y=1/cos^2y, ao multiplicar por cos^2y isolamos o dy de um lado e o dx do outro.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados:
integralcos^2y,dy=integraldx1+x^2

Passo 4

Calculamos cada integral usando a identidade cos^2y=tfrac1+cos2y2 e a primitiva padrão de 1/(1+x^2):
integralcos^2y,dy=integral1+cos2y2,dy=12y+14sin2y integraldx1+x^2=arctan x+C

Passo 5

Reunindo os resultados e chamando a constante geral de C, temos:
12y+14sin2y=arctan x+C

Passo 6

Para simplificar, multiplicamos tudo por 4 e chamamos a nova constante de C':
2y+sin2y=4arctan x+C'

Passo 7

Ou, numa forma mais compacta:
y+tfrac12sin2y=2arctan x+C

Passo 8

Essa é a solução implícita geral da EDO.

Resposta

A solução implícita geral é
y+tfrac12sin2y=2arctan x+C

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