Resolva os problemas a seguir:
Um navio, com direção e velocidade desconhecidas, navega em linha reta próximo a uma costa retilínea. Um observador situado na costa mede a distância r dele ao navio e o ângulo \varphi entre a costa e a linha que contém a distância dele ao navio ( r ). Em um certo instante encontra \mathrm{r}=6 \mathrm{~m}, \varphi=\pi / 3 rd e que a velocidade com que o navio se afasta dele é de 3 \mathrm{~m} / \mathrm{seg}, enquanto o ângulo \varphi está diminuindo a 3 rd/seg. Qual a taxa de variação da distância do navio à costa neste instante?

Passo 1

O enunciado pede a taxa de variação da distância do navio à costa num certo instante. Informações dadas (todas aqui são valores no instante considerado):
r=6\\ \text{m}
\varphi=\frac{\pi}{3}\\ \text{rad}
A velocidade com que o navio se afasta do observador (isto é, a taxa de variação de r) é
\frac{dr}{dt}=3\\ \text{m/s}
O ângulo está diminuindo a 3\\ \text{rad/s}, portanto
\frac{d\varphi}{dt}=-3\\ \text{rad/s}.
Queremos encontrar a taxa de variação da distância do navio à costa no instante dado.

Passo 2

Vamos definir a variável que representa a distância do navio até a costa. Escolhemos um sistema com a costa como uma reta horizontal (eixo x) e o observador na origem. A posição do navio, em coordenadas polares centradas no observador, é (r,\varphi). A distância perpendicular do navio à costa (a “altura” acima da reta) é a componente vertical da posição, logo definimos
y = r\sin(\varphi).
Explicação do porquê: desenhe o triângulo retângulo formado pela projeção do navio sobre a costa; a hipotenusa tem comprimento r e o ângulo com a costa é \varphi, assim a componente perpendicular é r\sin(\varphi).

Passo 3

Agora precisamos da taxa \dfrac{dy}{dt}. Como y é produto de duas quantidades que variam no tempo ( r e \sin(\varphi)), usamos a regra do produto e a regra da cadeia.
Regra do produto: se y=u\cdot v com u=u(t) e v=v(t), então
\frac{dy}{dt} = \frac{du}{dt}\,v + u\,\frac{dv}{dt}.
Regra da cadeia para v(t)=\sin(\varphi(t)): \dfrac{d}{dt}\sin(\varphi(t))=\cos(\varphi)\dfrac{d\varphi}{dt}.
Aplicando essas regras a y=r\sin(\varphi) temos:
\frac{dy}{dt} = \frac{dr}{dt}\sin(\varphi) + r\cos(\varphi)\frac{d\varphi}{dt}.

Passo 4

Substituímos os valores conhecidos na expressão:
\frac{dy}{dt} = \left(3\right)\sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right) + \left(6\right)\cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)\left(-3\right).
Calculamos as razões trigonométricas: \sin\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} e \cos\!\left(\frac{\pi}{3}\right)=\frac{1}{2}. Portanto
\frac{dy}{dt} = 3\cdot\frac{\sqrt{3}}{2} + 6\cdot\frac{1}{2}\cdot(-3).
Simplificando passo a passo:
3\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3\sqrt{3}}{2},
6\cdot\frac{1}{2}\cdot(-3)=3\cdot(-3)=-9.
Logo
\frac{dy}{dt}=\frac{3\sqrt{3}}{2}-9.

Passo 5

Interpretação e valor numérico: o resultado é negativo, o que significa que a distância do navio à costa está diminuindo naquele instante. Podemos escrever o valor exato e a aproximação decimal (usando vírgula como separador decimal):
\frac{dy}{dt}=\frac{3\sqrt{3}}{2}-9\\ \text{m/s}\approx -6{,}402\\ \text{m/s}.

Resposta

\dfrac{3\sqrt{3}}{2}-9\\ \text{m/s}\approx -6{,}402\\ \text{m/s}

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