Resolva os problemas a seguir:
Um navio, com direção e velocidade desconhecidas, navega em linha reta próximo a uma costa retilínea. Um observador situado na costa mede a distância r dele ao navio e o ângulo
entre a costa e a linha que contém a distância dele ao navio ( r ). Em um certo instante encontra
rd e que a velocidade com que o navio se afasta dele é de
, enquanto o ângulo
está diminuindo a 3 rd/seg. Qual a taxa de variação da distância do navio à costa neste instante?
Um navio, com direção e velocidade desconhecidas, navega em linha reta próximo a uma costa retilínea. Um observador situado na costa mede a distância r dele ao navio e o ângulo
Passo 1
O enunciado pede a taxa de variação da distância do navio à costa num certo instante. Informações dadas (todas aqui são valores no instante considerado):
A velocidade com que o navio se afasta do observador (isto é, a taxa de variação de
) é
O ângulo está diminuindo a
, portanto
Queremos encontrar a taxa de variação da distância do navio à costa no instante dado.
Passo 2
Vamos definir a variável que representa a distância do navio até a costa. Escolhemos um sistema com a costa como uma reta horizontal (eixo
) e o observador na origem. A posição do navio, em coordenadas polares centradas no observador, é
. A distância perpendicular do navio à costa (a “altura” acima da reta) é a componente vertical da posição, logo definimos
Explicação do porquê: desenhe o triângulo retângulo formado pela projeção do navio sobre a costa; a hipotenusa tem comprimento
e o ângulo com a costa é
, assim a componente perpendicular é
.
Passo 3
Agora precisamos da taxa
. Como
é produto de duas quantidades que variam no tempo (
e
), usamos a regra do produto e a regra da cadeia.
Regra do produto: se
com
e
, então
Regra da cadeia para
:
.
Aplicando essas regras a
temos:
Passo 4
Substituímos os valores conhecidos na expressão:
Calculamos as razões trigonométricas:
e
. Portanto
Simplificando passo a passo:
Logo
Passo 5
Interpretação e valor numérico: o resultado é negativo, o que significa que a distância do navio à costa está diminuindo naquele instante. Podemos escrever o valor exato e a aproximação decimal (usando vírgula como separador decimal):