Calcule os seguintes limites usando L(h) lim x 1(11-x-11-x^3)

Passo 1

Vamos calcular o limite limxto1l(tfrac11-x-tfrac11-x^3r). O conteúdo aqui é uma forma indeterminada do tipo infty-infty, e vamos usar a mudança de variável x=1+h, com hto0, para reescrever o limite de forma a estudar o comportamento assintótico.

Passo 2

Fazendo x=1+h, temos h=x-1 e quando xto1 então hto0. A expressão vira
[
\frac1{1-(1+h)}-\frac1{1-(1+h)^3}
=\frac1{-h}-\frac1{1-(1+h)^3}
= -\frac1h - \frac1{1-(1+h)^3}.

Passo 3

Precisamos expandir (1+h)^3-1. Aplicando o binômio de Newton,
(1+h)^3 -1 = 3h + 3h^2 + h^3

Passo 4

Então
1-(1+h)^3 = -(3h + 3h^2 + h^3) = -hl(3 + 3h + h^2r)

Passo 5

Logo
-1h - 11-(1+h)^3 = -1h + 1h(3 + 3h + h^2)

Passo 6

Colocando no mesmo denominador h:
-1h + 1h(3 + 3h + h^2) = -l(3 + 3h + h^2r) + 1h,(3 + 3h + h^2) = -3 - 3h - h^2 + 1h,(3 + 3h + h^2) = -2 - 3h - h^2h,(3 + 3h + h^2)

Passo 7

Para hto0, o numerador tende a -2 e o denominador comporta-se como 3h. Então a expressão principal se comporta como
-23h

Passo 8

que diverge em módulo quando hto0. Além disso, para h>0 dá sinal negativo e para h<0 dá sinal positivo.

Passo 9

Concluímos que não existe limite finito bilateral: ele tende a +infty quando xto1^- e a -infty quando xto1^+.

Resposta

Não existe limite finito; tende a +∞ pela esquerda e a -∞ pela direita.

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