Calcule os seguintes limites usando os limites fundamentais:
Passo 1
Vamos resolver o limite
. Este exercício está relacionado com o estudo de limites na Matemática, mais especificamente com limites que envolvem funções logarítmicas. Para resolver, vamos precisar usar propriedades dos logaritmos e algumas aproximações básicas para funções logarítmicas próximas a 1.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão no numerador usando a propriedade dos logaritmos que diz que
. Assim:
Passo 3
Multiplicando os termos dentro do logaritmo:
Então, a expressão fica:
Passo 4
Agora, nosso limite é:
Para resolver isso, vamos usar a aproximação para o logaritmo natural quando o argumento está próximo de 1:
Aqui,
, que tende a 0 quando
tende a 0.
Passo 5
Aplicando a aproximação:
Mas como estamos considerando o limite quando
tende a 0, o termo
é muito pequeno e pode ser desprezado. Portanto:
Passo 6
Substituindo essa aproximação no limite:
Resposta
O limite é
.