Calcule os seguintes limites usando os limites fundamentais:
lim x 0 ln (1-2 x)+ln (1+2 x)x^2

Passo 1

Vamos resolver o limite . Este exercício está relacionado com o estudo de limites na Matemática, mais especificamente com limites que envolvem funções logarítmicas. Para resolver, vamos precisar usar propriedades dos logaritmos e algumas aproximações básicas para funções logarítmicas próximas a 1.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão no numerador usando a propriedade dos logaritmos que diz que ln(1 - 2x) + ln(1 + 2x) = ln[(1 - 2x)(1 + 2x)] . Assim:

Passo 3

Multiplicando os termos dentro do logaritmo:
(1 - 2x)(1 + 2x) = 1 - (2x)^2 = 1 - 4x^2
Então, a expressão fica:
ln(1 - 4x^2)

Passo 4

Agora, nosso limite é:
limx 0 ln(1 - 4x^2)x^2
Para resolver isso, vamos usar a aproximação para o logaritmo natural quando o argumento está próximo de 1:
ln(1 + y) approx y - y^22 para y approx 0
Aqui, , que tende a 0 quando tende a 0.

Passo 5

Aplicando a aproximação:
ln(1 - 4x^2) approx -4x^2 - (-4x^2)^22 = -4x^2 - 16x^42 = -4x^2 - 8x^4
Mas como estamos considerando o limite quando ln(1 - 4x^2) approx -4x^2 tende a 0, o termo é muito pequeno e pode ser desprezado. Portanto:

Passo 6

Substituindo essa aproximação no limite:
limx 0 -4x^2x^2 = limx 0 -4 = -4

Resposta

O limite é .

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