Calcule os seguintes limites usando os limites fundamentais:
lim x 0 e^alpha x-e^beta xsen(alpha x)-sen(beta x)

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse limite:
lim x 0 e^alpha x-e^beta xsen(alpha x)-sen(beta x)
Aqui, a matéria é Cálculo, mais especificamente o estudo de limites. Vamos precisar usar os limites fundamentais de funções exponenciais e trigonométricas quando se aproxima de zero.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar dos limites fundamentais que vamos usar:
limx to 0 e^kx - 1kx = 1
limx to 0 sen(kx)kx = 1
Esses limites nos dizem como as funções exponencial e seno se comportam perto de zero.

Passo 3

Vamos reescrever o numerador e o denominador da expressão original usando esses limites. Para isso, vamos dividir e multiplicar por e^alpha x - e^beta x = e^alpha x - 1 - (e^beta x - 1) e sen(alpha x) - sen(beta x) = sen(alpha x) - sen( beta x) respectivamente:
Numerador:
Denominador:

Passo 4

Agora, aplicamos os limites fundamentais aos termos que envolvem limx to 0 e^alpha x - e^beta xsen(alpha x) - sen(beta x) = limx to 0 alpha x cdot e^alpha x - 1alpha x - beta x cdot e^beta x - 1beta xalpha x cdot sen(alpha x)alpha x - beta x cdot sen(beta x)beta x , , e :

Passo 5

Substituindo os limites fundamentais, sabemos que:
e^alpha x - 1alpha x to 1 e e^beta x - 1beta x to 1
sen(alpha x)alpha x to 1 e sen(beta x)beta x to 1
Então, a expressão simplifica para:
limx to 0 alpha x cdot 1 - beta x cdot 1alpha x cdot 1 - beta x cdot 1 = limx to 0 (alpha - beta) x(alpha - beta) x

Passo 6

Agora, podemos simplificar (alpha - beta) x(alpha - beta) x = 1 no numerador e no denominador:

Resposta

O limite é igual a lim x 0 e^alpha x-e^beta xsen(alpha x)-sen(beta x) = 1 .

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