Calcule os seguintes limites usando os limites fundamentais:
Passo 1
Beleza, vamos resolver o limite
. Esse exercício está na área de Cálculo de Limites, especificamente lidando com funções trigonométricas e limites fundamentais. Para resolver, vamos precisar usar a expansão em série de Taylor para a função cosseno e propriedades de limites.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a expansão em série de Taylor para
perto de
:
Para valores de
muito pequenos, podemos aproximar essa série usando apenas os primeiros termos:
Passo 3
Agora, substituímos essa aproximação na expressão
:
Então, a expressão dentro da raiz fica:
Passo 4
Substituímos essa aproximação de volta no limite original:
Passo 5
A expressão
é igual a
quando
e
quando
. Portanto, ao aproximar
de
, temos:
Isso significa que os limites laterais são diferentes:
Resposta
O limite
não existe, pois os limites laterais são diferentes (
pela direita e
pela esquerda).