Calcule os seguintes limites usando os limites fundamentais:
lim x 0 xraiz1-cos (x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite . Esse exercício está na área de Cálculo de Limites, especificamente lidando com funções trigonométricas e limites fundamentais. Para resolver, vamos precisar usar a expansão em série de Taylor para a função cosseno e propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a expansão em série de Taylor para cos(x) = 1 - x^22 + x^424 - dots perto de cos(x) approx 1 - x^22 :
Para valores de muito pequenos, podemos aproximar essa série usando apenas os primeiros termos:

Passo 3

Agora, substituímos essa aproximação na expressão 1 - cos(x) approx 1 - (1 - x^22) = x^22 :
raiz1 - cos(x) approx raizx^22 = |x|raiz2
Então, a expressão dentro da raiz fica:

Passo 4

Substituímos essa aproximação de volta no limite original:
limx 0 xraiz1 - cos(x) approx limx 0 x|x|raiz2 = limx 0 x cdot raiz2|x| = raiz2 cdot limx 0 x|x|

Passo 5

A expressão limx 0^+ x|x| = 1 e limx 0^- x|x| = -1 é igual a limx 0^+ xraiz1 - cos(x) = raiz2 quando limx 0^- xraiz1 - cos(x) = -raiz2 e quando . Portanto, ao aproximar de , temos:
Isso significa que os limites laterais são diferentes:

Resposta

O limite não existe, pois os limites laterais são diferentes ( pela direita e pela esquerda).

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