Calcule os seguintes limites usando os limites fundamentais:
lim x 0 sen(a+x)-sen(a-x)x

Passo 1

Ok, vamos lá! O enunciado pede para calcular o limite . Isso está ligado à matéria de limites fundamentais em funções trigonométricas. Para resolver esse limite, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas e propriedades básicas dos limites.

Passo 2

Primeiro, vamos utilizar uma identidade trigonométrica que facilita a expressão sin(A) - sin(B) = 2 cos(A+B2) sin(A-B2) . Sabemos que:
sin(a+x) - sin(a-x) = 2 cos((a+x)+(a-x)2) sin((a+x)-(a-x)2)
Aplicando isso com = 2 cos(2a2) sin(2x2) = 2 cos(a) sin(x) e , temos:
Simplificando os termos dentro das funções cosseno e seno:

Passo 3

Agora, substituímos essa simplificação de volta no limite original:
lim x 0 sin(a+x)-sin(a-x)x = lim x 0 2 cos(a) sin(x)x
Podemos fatorar o constante = 2 cos(a) cdot lim x 0 sin(x)x para facilitar:

Passo 4

Conhecemos um limite fundamental na matemática que diz que:
lim x 0 sin(x)x = 1
Então, substituindo esse valor no nosso cálculo:
2 cos(a) cdot 1 = 2 cos(a)

Resposta

O limite é igual a .

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