Calcule os seguintes limites usando os limites fundamentais:
lim x 0(1+sen^2(2 x))^1x sen(5 x)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Vamos usar limites fundamentais e propriedades de funções trigonométricas para resolver isso.

Passo 2

Vamos reescrever a expressão para facilitar o cálculo. Note que e são funções que se aproximam de 0 quando se aproxima de 0. Então, podemos usar a aproximação para próximo de 0.

Passo 3

Aplicando a aproximação, temos:
Substituindo na expressão original:
sen(2x) approx 2x e sen(5x) approx 5x

Passo 4

Agora, reconhecemos a forma que se aproxima de quando tende a 0. Aqui, , que tende a 0 quando tende a 0.

Passo 5

Usando a propriedade mencionada, temos:
limx to 0 (1 + 4x^2)^15x^2 = e^limx to 0 4x^25x^2 = e^45

Resposta

O limite é .

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