Calcule, se existirem, os seguintes limites:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando
tende ao infinito da função
. Aqui, vamos usar os conceitos de limites e propriedades das funções trigonométricas para resolver. Vamos precisar simplificar a expressão dentro do seno para entender o comportamento dela quando
cresce sem limite.
Passo 2
Vamos começar simplificando a fração dentro do seno:
. Para isso, observamos que os termos de maior grau em
no numerador e no denominador dominam o comportamento da fração quando
tende ao infinito. No numerador, o termo de maior grau é
e no denominador é
.
Passo 3
Agora, focamos nos termos de maior grau:
Os termos de maior grau nos permitem simplificar a fração:
Passo 4
Com isso, vemos que a expressão dentro do seno tende para
quando
tende ao infinito. Ou seja:
Passo 5
Agora, substituímos este resultado na função seno:
Sabemos que
.
Resposta
O limite é
.