Calcule, se existirem, os seguintes limites:
lim n +infty sen(2+n-pi n^212 n-4 n^2)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos calcular o limite quando tende ao infinito da função . Aqui, vamos usar os conceitos de limites e propriedades das funções trigonométricas para resolver. Vamos precisar simplificar a expressão dentro do seno para entender o comportamento dela quando cresce sem limite.

Passo 2

Vamos começar simplificando a fração dentro do seno: . Para isso, observamos que os termos de maior grau em no numerador e no denominador dominam o comportamento da fração quando tende ao infinito. No numerador, o termo de maior grau é e no denominador é .

Passo 3

Agora, focamos nos termos de maior grau:
2 + n - pi n^212n - 4n^2 approx -pi n^2-4n^2
Os termos de maior grau nos permitem simplificar a fração:
-pi n^2-4n^2 = pi4

Passo 4

Com isso, vemos que a expressão dentro do seno tende para limn to +infty 2 + n - pi n^212n - 4n^2 = pi4 quando tende ao infinito. Ou seja:

Passo 5

Agora, substituímos este resultado na função seno:
limn to +infty sin(2 + n - pi n^212n - 4n^2) = sin(pi4)
Sabemos que .

Resposta

O limite é .

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