Calcule os seguintes limites usando os limites fundamentais:
lim x 0(sen xx)^sen xx-sen x

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o limite quando (sin xx)^sin xx - sin x se aproxima de 0 da expressão:
Esse problema envolve conhecimentos de limites fundamentais, especialmente o limite conhecido de quando tende a 0. Vamos precisar utilizar propriedades de limites e manipular a expressão para simplificar o cálculo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que:
limx to 0 sin xx = 1
Isso é um limite fundamental em cálculo e será útil para simplificar nossa expressão.

Passo 3

Vamos analisar a expressão base e o expoente separadamente:
Base = sin xx
Expoente = sin xx - sin x
Já sabemos que a base tende a 1 quando tende a 0.

Passo 4

Precisamos calcular o limite da expressão na forma limx to 0 (1 + f(x))^g(x) = e^limx to 0 f(x)g(x) , que é uma forma indeterminada. Para resolver isso, podemos usar o seguinte truque:
onde tende a 0 e tende a . Vamos reescrever nossa expressão nessa forma.

Passo 5

Reescrevendo a base:
sin xx = 1 - x^26 + cdots approx 1 - x^26
Então, podemos identificar .

Passo 6

Agora, precisamos calcular o limite do produto f(x)g(x) = (-x^26) cdot sin xx - sin x :
Vamos simplificar o denominador .

Passo 7

Expandindo sin x = x - x^36 + cdots em série de Taylor:
x - sin x = x^36 + cdots approx x^36
Portanto:

Passo 8

Substituindo no produto f(x)g(x) = (-x^26) cdot x - x^36x^36 approx (-x^26) cdot 6x^2 = -1 :

Passo 9

Aplicando o resultado no truque mencionado no Passo 4:
limx to 0 (sin xx)^sin xx - sin x = e^-1 = 1e

Resposta

O limite é .

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