Calcule os seguintes limites usando os limites fundamentais:
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular o limite quando
se aproxima de 0 da expressão:
Esse problema envolve conhecimentos de limites fundamentais, especialmente o limite conhecido de
quando
tende a 0. Vamos precisar utilizar propriedades de limites e manipular a expressão para simplificar o cálculo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que:
Isso é um limite fundamental em cálculo e será útil para simplificar nossa expressão.
Passo 3
Vamos analisar a expressão base e o expoente separadamente:
Já sabemos que a base tende a 1 quando
tende a 0.
Passo 4
Precisamos calcular o limite da expressão na forma
, que é uma forma indeterminada. Para resolver isso, podemos usar o seguinte truque:
onde
tende a 0 e
tende a
. Vamos reescrever nossa expressão nessa forma.
Passo 5
Reescrevendo a base:
Então, podemos identificar
.
Passo 6
Agora, precisamos calcular o limite do produto
:
Vamos simplificar o denominador
.
Passo 7
Expandindo
em série de Taylor:
Portanto:
Passo 8
Substituindo no produto
:
Passo 9
Aplicando o resultado no truque mencionado no Passo 4:
Resposta
O limite é
.