Assuma que
existe e que vale a desigualdade
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Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício que temos aqui está relacionado a limites, que é um conceito fundamental no cálculo. A gente precisa encontrar o limite da função
quando
se aproxima de
pela esquerda (ou seja, valores um pouquinho menores que
). Para isso, vamos usar uma técnica chamada teorema do sanduíche (ou teorema da pinça), que ajuda a determinar o limite de uma função quando ela está “presa” entre duas outras funções cujo limite já conhecemos.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na desigualdade que nos foi dada:
Nosso objetivo é encontrar
. Para facilitar, vamos isolar
na desigualdade. Para isso, multiplicamos todos os termos por
(lembrando que
é sempre positivo, então a desigualdade não muda de direção):
Simplificando, temos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar o limite de cada uma das duas funções que estão “abraçando”
quando
se aproxima de
pela esquerda.
Primeiro, calculamos:
Substituindo
:
Em seguida, calculamos:
Substituindo
:
Passo 4
Vemos que ambos os limites das funções que “abraçam”
são iguais a
. Segundo o teorema do sanduíche, se uma função está entre duas funções que têm o mesmo limite, então o limite dessa função também é o mesmo.
Resposta
Portanto,