Calcule os seguintes limites:
lim x 0 1-raizcos xx^2
Obs: As constantes a e b são diferentes de zero.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Esse é um problema de Cálculo de Limites, e vamos usar algumas ideias de expansão em séries para resolver. Precisamos entender como expandir e perto de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a expansão em série de Taylor para cos x = 1 - x^22 + x^424 - dots perto de 0:
cos x approx 1 - x^22
Como estamos lidando com valores muito pequenos de , podemos aproximar por:

Passo 3

Agora, precisamos encontrar raiz1 + y approx 1 + y2 - y^28 + dots . Usando a expansão de Taylor para a raiz quadrada, temos:
raizcos x approx 1 + (-x^22)2 = 1 - x^24
Aqui, , então:

Passo 4

Substituindo 1 - raizcos x approx 1 - (1 - x^24) = x^24 na expressão original:

Passo 5

Agora, substituímos isso no limite:
limx to 0 1 - raizcos xx^2 approx limx to 0 x^24x^2 = limx to 0 14 = 14

Resposta

O limite é .

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