Calcule os seguintes limites, usando os limites notáveis sempre que for possível.
lim x to 0(1+3 tg^2(x))^cotg^2(x)

Passo 1

O enunciado pede calcular
limx to 0l(1+3tan^2(x)r)^cot^2(x)
O conteúdo envolve limites do tipo (1+u(x))^v(x), em que usamos o fato de que
limuto0ln(1+u)u=1 e limxto0tan xx=1

Passo 2

Escrevemos a potência como exponencial:
l(1+3tan^2(x)r)^cot^2(x) =expl(cot^2(x),ln(1+3tan^2(x))r)
Defina o expoente
E(x)=cot^2(x),ln(1+3tan^2(x))

Passo 3

Usando cot^2(x)=1/tan^2(x), temos
E(x) =lnl(1+3tan^2(x)r)tan^2(x)

Passo 4

Ao fazer xto0, tan^2(x)to0. Logo, com u=tan^2(x),
limxto0E(x) =limuto0ln(1+3u)u =3,
pois ln(1+3u)/(3u)to1.

Passo 5

Daí
limxto0l(1+3tan^2(x)r)^cot^2(x) =expl(limxto0E(x)r) =exp(3) =e^3

Resposta

e^3

Exercícios relacionados