Exercício 2) Desenhe as regiões planas D, dadas abaixo, realçando no desenho sua fronteira.
D:lx^2-2 x+y^2 >= 0 x^2-4 x+y^2 <= 0;

Passo 1

O enunciado pede que a gente desenhe o conjunto
D = (x,y)in R^2 mid x^2-2x+y^2 >= 0,;x^2-4x+y^2 <= 0
ou seja, uma região do plano determinada por duas desigualdades quadráticas. Para resolver vamos completar o quadrado em cada expressão e identificar círculos cujas fronteiras são dadas pelas igualdades correspondentes.

Passo 2

Complete o quadrado em cada polinômio:
x^2-2x+y^2 = (x^2-2x+1)+y^2 -1 = (x-1)^2 + y^2 -1,
então
x^2 - 2x + y^2 >= 0 Long<=ftrightarrow (x-1)^2 + y^2 >= 1
Analogamente,
x^2-4x+y^2 = (x^2-4x+4)+y^2 -4 = (x-2)^2 + y^2 -4,
logo
x^2 - 4x + y^2 <= 0 Long<=ftrightarrow (x-2)^2 + y^2 <= 4

Passo 3

As duas condições viraram:
  1. (x-1)^2 + y^2 >= 1, que é o exterior (mais a fronteira) do círculo de centro (1,0) e raio 1.
  2. (x-2)^2 + y^2 <= 4, que é o interior (mais a fronteira) do círculo de centro (2,0) e raio 2.
    Portanto D é a interseção do exterior do círculo pequeno com o interior do círculo maior.

Passo 4

Para desenhar:
  • Trace o círculo de centro (1,0) e raio 1; a região válida está do lado de fora desse círculo, inclusive a circunferência.
  • Trace o círculo de centro (2,0) e raio 2; a região válida está do lado de dentro desse círculo, inclusive a circunferência.
    Elas se tocam em (0,0), pois o pequeno chega até ali e o grande também. A área sombreada entre elas é a região D, com as fronteiras realçadas.

Resposta

D = (x,y)mid (x-1)^2 + y^2 >= 1,;(x-2)^2 + y^2 <= 4,
isto é, a parte do disco de raio 2 centrado em (2,0) que fica fora do disco de raio 1 centrado em (1,0), incluindo ambas as circunferências.

Exercícios relacionados