Calcule os seguintes limites, usando os limites notáveis sempre que for possível.
lim x to-4 raiz[x+4](x+5)^2

Passo 1

O enunciado pede
limxto -4raiz[x+4](x+5)^2
ou seja um limite do tipo 1^infty. Vamos usar a técnica de passar para a forma exponencial e aproveitar o limite notável de (1+u)^1/uto e ou, equivalentemente, o cálculo de
expl(limxto -4lnl((x+5)^2r)x+4r)

Passo 2

Identificamos a forma indeterminada 1^infty. De fato, quando xto -4 temos x+5to1, logo (x+5)^2to1, e x+4to0 faz com que o expoente 1/(x+4)topminfty. Portanto escreveremos o limite como exponencial de um quociente de logaritmos.

Passo 3

Definindo
L = limxto -4raiz[x+4](x+5)^2,
podemos reescrever
L = expl(limxto -4lnl((x+5)^2r)x+4r)
Dentro do exponencial fica o limite
A = limxto -4lnl((x+5)^2r)x+4 =limxto -42,ln(x+5)x+4

Passo 4

Calculamos o limite
A = limxto -42,ln(x+5)x+4
É uma forma 0/0, pois ln(x+5)toln 1=0 e x+4to 0. Aplicando a regra de l’Hôpital:
A = limxto -42cdot1x+51 = 2(-4)+5 = 2

Passo 5

Portanto
L = exp(A) = exp(2)
e o limite é e^2.

Resposta

e^2

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