Calcule os seguintes limites, usando os limites notáveis sempre que for possível.
lim x to 1(e^x-1-a^x-1x^2-1)

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
limxto1e^x-1-a^x-1x^2-1,
que apresenta a forma indeterminada 0/0. Para resolver vamos usar fatoração e limites notáveis de exponenciais.

Passo 2

Em x=1 temos e^x-1-a^x-1=e^0-a^0=1-1=0 e x^2-1=1-1=0. Note que
x^2-1=(x-1)(x+1),
então
e^x-1-a^x-1x^2-1 =e^x-1-a^x-1x-1cdot1x+1

Passo 3

Para calcular
limxto1e^x-1-a^x-1x-1,
façamos a troca h=x-1, de modo que hto0. Então
e^x-1-a^x-1x-1 =e^h-a^hh =e^h-1h-a^h-1h
Pelos limites notáveis temos
limhto0e^h-1h=1, limhto0a^h-1h=ln a,
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limhto0e^h-a^hh=1-ln a

Passo 4

Voltando à expressão original,
limxto1e^x-1-a^x-1x^2-1 =l(limxto1e^x-1-a^x-1x-1r)cdotl(limxto11x+1r) =(1-ln a)cdot12

Resposta

1-ln a2

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