Questão 2.
(7 pontos)
Uma esfera maciça de raio a tem uma distribuição de carga elétrica uniforme. Uma casca esférica de raio interno b e raio externo c envolve a esfera maciça, sendo ambas as esferas concentricas.
(i) Determine a intensidade do campo elétrico em cada regiāo.
(ii) Calcule o potencial elétrico em cada regiāo do sistema.

Passo 1

O enunciado descreve duas distribuições esféricas concêntricas de cargas:
– Uma esfera sólida de raio a com densidade volumétrica uniforme rho1.
– Uma casca esférica de raio interno b e raio externo c com densidade volumétrica uniforme rho2.
O que se quer é a intensidade do campo elétrico E(r) e o potencial elétrico V(r) em cada região r<a, a<r<b, b<r<c e r>c.
Para resolver, vamos usar simetria esférica e a Lei de Gauss para E(r), e em seguida integrar E para obter V, impondo V(infty)=0.

Passo 2

Definimos as cargas totais associadas a cada distribuição:
Q1=rho1,4pi a^33, Q2=rho2,4pi (c^3-b^3)3

Passo 3

Pela Lei de Gauss, o campo elétrico radial em cada região é
E(r)= dfracrho1,r3varepsilon0, & r<a,[1em] dfracQ14pivarepsilon0,r^2, & a<r<b,[1em] dfrac14pivarepsilon0,r^2l(Q1+rho2,dfrac4pi3,(r^3-b^3)r), & b<r<c,[1em] dfracQ1+Q24pivarepsilon0,r^2, & r>c ]

Passo 4

Para o potencial, somamos contribuições da esfera sólida (
2. Potencial da casca espessa ((V(\infty)=0]):

onde

3. O potencial total é
]

Resposta

Intensidade do campo elétrico:
E(r)= dfracrho1,r3varepsilon0, & r<a,[6pt] dfracQ14pivarepsilon0,r^2, & a<r<b,[6pt] dfrac14pivarepsilon0,r^2l(Q1+rho2,tfrac4pi3(r^3-b^3)r), & b<r<c,[6pt] dfracQ1+Q24pivarepsilon0,r^2, & r>c
Potencial elétrico (com V(infty)=0):
V(r)= underbrace dfracQ18pivarepsilon0al(3-tfracr^2a^2r),&r<= a,[6pt] dfracQ14pivarepsilon0r,&r>= a V1(r) + underbrace V2(b),&r<= b,[4pt] dfracQ24pivarepsilon0c -dfracrho23varepsilon0l[tfracr^2-c^22 +b^3l(tfrac1r-tfrac1cr)r],&b<r<c,[6pt] dfracQ24pivarepsilon0r,&r>= c V2(r) ]

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